Проекция силы тяжести на ось

Татьяна Ефимова предлагает статью на тему: "проекция силы тяжести на ось" с детальным описанием.

Лекции и примеры решения задач по теормеху, сопромату, ТММ и ДМ

Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси. Рисунок 1.13):

Проекция силы на ось может быть положительной, рис. 1.13а ( 0 ≤ α β = π/2) и отрицательной, рис. 1.13в ( π/2 Pz = P ∙ sinα;
Px = (P ∙ cosα)cosβ;
Py = (P ∙ cosα)cosγ = P ∙ cosα ∙ cos(90 o — β).

Проекция силы тяжести на ось

Тема 3 . Сложение сил на плоскости

Система сил , линии действия которых лежат в одной плоскости называется плоской.

Геометрический способ сложения сил. Геометрическая сумма (главный вектор) системы сил F1, F2, . Fn определяется построением силового многоугольника. Для этого пользуются правилом сложения векторов. В произвольной точке О вектор R , соединяющий начало первого вектора F1 с концом последнего Fn изображает геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

R = F1 + F2 + . + Fn = S Fk. (k = 1, 2, . n)

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина , равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси:

Fх = | F |Ч cos a.

Аналитический способ задания сил на плоскости

Силу F на плоскости Оxy можно задать через ее проекции Fхи Fуна оси прямоугольной системы координат по правилу сложения векторов, определив точку А ( xA , yA ) приложения силы:

F = FхЧ i + FуЧ j,

где i, j – единичные векторы. Модуль силы F и углы, которые она образует с координатными осями вычисляются по формулам:

cos (F, i) = Fх /F, cos (F, j) = Fy /F.

Аналитический способ сложения сил

Воспользуемся теоремой: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Спроецируем равенство R = S Fk на оси прямоугольной системы координат Оху , получим
Rх = S Fkx , Ry = S Fky , (k = 1, 2, . n)

где Fkx, Fky – проекции k-ой силы Fk на оси Ох и Оу соответственно. Тогда на плоскости Оху вектор R равные геометрической сумме слагаемых сил F1, F2, . Fn определяется по формулам:

R = RхЧ i + RуЧ j;

Проекция силы тяжести на ось

6.2. Силы, действующие на самолет в полете

Пространственное движение самолета, характеризующееся изменением положения самолета в пространстве, изменением скорости и направления полета, называется маневром , а способность совершать маневр – маневренностью самолета (франц. manoeuvrer – приводить в движение, управлять, маневрировать, от лат. manu operor – работаю руками).
Все силы, действующие на самолет в полете, могут быть сведены к трем: полной аэродинамической силе Ra , силе тяжести G и силе тяги двигателя P . Эти силы, в свою очередь, можно привести к равнодействующей силе F, приложенной в центре масс самолета, и моменту M относительно центра масс (рис. 6.4):

;

где

Pi составляющие силы F;
ri плечо силы Pi относительно центра масс

В общем случае сила F и момент M, действующие на самолет, отличны от нуля и самолет движется поступательно вдоль вектора силы F с ускорением j = F/m и вращается относительно оси, направленной вдоль вектора M с угловым ускорением

где

j линейное ускорение центра масс самолета, м/с 2 ;
F действующая на самолет сила, Н;
m масса самолета, кг;
e угловое ускорение самолета, рад/с 2 ;
M действующий на самолет момент сил, Н·м;
Jm момент инерции самолета относительно центра масс, кг·м 2 .

Момент инерции самолета относительно центра масс

где

mi масса i-го агрегата самолета (например, масса двигателя);
ri расстояние от центра масс i-го агрегата до оси вращения самолета, проходящей через центр масс, т. е. до вектора момента M.
Еще статьи:  Действенный план накопления денег: этот способ помог мне собрать солидную сумму всего за 3 месяца!
Рис. 6.4. Силы действующие на
самолет в криволинейном полете

При ускоренном поступательном и вращательном движении самолета на каждый агрегат или размещенный на самолете груз действуют инерционные силы Pi = miji , где mi – масса i-го агрегата самолета; ji– линейное ускорение i-го агрегата. В этом случае линейное ускорение каждого агрегата вследствие вращательного движения самолета будет отличаться от линейного ускорения центра масс самолета тем больше, чем дальше от центра масс самолета находится агрегат.
Движущийся в криволинейном пространственном полете самолет можно рассматривать как находящийся в равновесии, если по принципу Д’Аламбера (по имени французского математика, механика и философа Ж. Л. Д’Аламбера ) включить в число действующих на него сил силу инерции

равную сумме инерционных сил, действующих на каждый агрегат самолета. Таким образом, можно записать:

Все силы, действующие на самолет в полете, удобно объединить в две группы:
поверхностные силы – силы, не связанные с массой самолета (полная аэродинамическая сила Ra и сила тяги двигателя P ), которые, собственно, и определяют полет: Rп= Ra + P ;
массовые силы – силы, связанные с массой самолета (сила тяжести G и инерционная сила Pj ), которые необходимо преодолеть для совершения полета: Rм = G + Pj.
Здесь уместно еще раз отметить, что сила лобового сопротивления Xa, которую приходится преодолевать силой тяги двигателя P, возникает как неизбежное следствие получения подъемной силы Ya, неразрывно связана с ней, поэтому силу лобового сопротивления, как и подъемную силу, с полным основанием можно отнести к группе сил Rп, которые определяют полет.
Таким образом, можно рассматривать равновесие самолета в любом пространственном движении под действием сил Rп и Rм, т. е.

Изменение силы F и момента M (появление приращений ΔF и ΔM при изменении полной аэродинамической силы Ra, силы тяги двигателя P или силы тяжести G) приводит к изменению параметров пространственного движения самолета. Движение самолета неуправляемое , если приращения (возмущения) силы ΔF и момента ΔM не обусловлены действиями летчика, а вызваны какими- либо не зависящими от него обстоятельствами (например, порыв ветра в турбулентной атмосфере). Движение самолета управляемое , если приращение силы ΔF и момента ΔM обусловлено действиями летчика. В этом случае ΔF и ΔM называются управляющими воздействиями. Летчик может изменить значение и ориентацию в пространстве полной аэродинамической силы, значение и направление силы тяги двигателя. Целенаправленное изменение этих сил приведет к формированию потребной траектории полета самолета.
При решении многих задач, связанных с полетом самолета (расчет траекторий, определение прочностных характеристик и т. д.), используется понятие перегрузки.
Перегрузка – отношение суммы векторов полной аэродинамической силы и силы тяги к силе тяжести:

или

Вектор перегрузки характеризует маневренность самолета, так как он учитывает величину и направление сил, изменяя которые можно управлять траекторией движения самолета. Перегрузка показывает, во сколько раз силы, определяющие траекторию движения, больше или меньше силы тяжести самолета или (что то же самое) во сколько раз ускорение движения самолета в каком-либо направлении больше или меньше ускорения земного тяготения. Для каждого отдельно взятого агрегата самолета или любого груза, находящегося на самолете, перегрузка показывает, во сколько раз действующая на него сила больше или меньше силы тяжести агрегата или груза.
Перегрузка, действующая на самолет, может быть записана через ее проекции nx, ny, nz, на оси координат в виде

Проекция силы тяжести на ось

6.3. Пространственное движение самолета

Рассмотрим простейшие случаи движения самолета.
В первом приближении можно считать, что криволинейный маневр в вертикальной плоскости («горка») (рис. 6.5,а) происходит по дуге окружности радиуса R за счет центростремительной силы Ya, которая численно равна сумме проекции силы тяжести G на ось Y и инерционной центробежной силы Pj, стремящейся сохранить прямолинейное движение самолета.
Можно записать (рис. 6.5,б) условие равновесия (суммы проекций всех сил на оси 0Y и 0X равны нулю):

;

При скорости полета V и радиусе кривизны R центробежная сила

где m=G/g – масса самолета, кг.
Тогда

Еще статьи:  Проекции скорости движения

Разделив это выражение на силу тяжести, получим:

Маневр в горизонтальной плоскости (рис. 6.6,а) требует создания центростремительной силы, направленной к центру кривизны траектории и равной по модулю центробежной силе. Создание такой силы возможно за счет накренения самолета на угол (рис. 6.6,б). В этом случае вертикальная составляющая подъемной силы Yacos g уравновешивает силу тяжести, а горизонтальная составляющая Rп= Yasin g – центробежную силу Pj=GV 2 /gR, и условия равновесия имеют вид:

Yacos g – G=0 ;

Под действием этих сил самолет будет осуществлять установившийся разворот (правильный «вираж» , франц. virage, от virer – поворачивать) со скоростью V по дуге окружности радиуса R.
Отсюда G = Yacos g , и перегрузка в вертикальной плоскости ny = Ya/G = 1/cos g , т. е. чем больше угол крена на вираже, тем больше перегрузка ny.
Радиус виража может быть определен как

Впервые в мире правильный разворот на самолете в горизонтальной плоскости с креном (вираж) и замкнутую кривую в вертикальной плоскости («мертвую петлю») выполнил в 1913 году замечательный русский летчик П.Н. Нестеров, доказав тем самым возможность безопасно совершать на самолете любые эволюции в воздухе и положив начало высшему пилотажу.
Легко видеть, что чем большую перегрузку можно создать на самолете, тем меньше будет радиус кривизны траектории, т. е. тем энергичнее будет маневр.

Рис. 6.7. Предельные перегрузки,
переносииые человеком

Маневренные возможности пилотируемых ЛА ограничиваются способностью людей, находящихся на его борту, переносить перегрузки. В зависимости от направления центростремительного ускорения субъективная сила тяжести человеческого тела (его вес) может быть больше нормального (положительная перегрузка), обращаться в нуль (невесомость) и принимать отрицательные значения (отрицательная перегрузка).
При выходе самолета из пикирования, когда инерционная сила направлена вниз, летчика прижимает к сиденью, на него действует положительная перегрузка в направлении голова – таз.
При входе самолета в пикирование, когда инерционная сила направлена вверх, летчика отрывает от сиденья, на него действует отрицательная перегрузка в направлении таз – голова.

Рис. 6.8. Силы, действующие на самолет
в горизонтальном полет

На рис. 6.7 показаны предельные перегрузки n в различных направлениях, переносимые человеком в зависимости от продолжительности их действия t. Переносимость перегрузки связана с механическим воздействием опоры (кресла, сиденья, ложемента) на тело человека, с приливами и отливами крови (с нарушением мозгового кровообращения).
Рис. 6.7 объясняет, почему космонавты возвращаются на Землю в летательных аппаратах с низким аэродинамическим качеством (т. е. по баллистическим траекториям) лежа в специальных креслах спиной к направлению полета – при таком положении тела легче всего переносить перегрузки.
Тренированные люди в специальных противоперегрузочных костюмах (см. главу 15) способны переносить достаточно высокие перегрузки в течение длительного времени. Поэтому маневренные самолеты (например, перехватчики) могут достигать эксплуатационных перегрузок порядка 10–13.

Рис. 6.9. Силы, действующие на самолет
при наборе высоты

Для неманевренных самолетов (пассажирские, самолеты для транспортировки грузов) эксплуатационные перегрузки не превышают 2.
Основным режимом для неманевренных самолетов является горизонтальный полет.
Рассматривая схему сил, действующих на самолет в горизонтальном полете (рис. 6.8), запишем проекции вектора перегрузки на оси координат:

Для режима набора высоты с постоянной скоростью (рис. 6.9) Ya = Gcos q ; P = Xa+Gsin q , где q – угол наклона траектории.
Видно, что подъемная сила самолета уравновешивает только часть силы тяжести Gcos q .
Следовательно, набор высоты происходит за счет избытка тяги двигателя ΔP=Gsin q .
Скороподъемность
вертикальную скорость при наборе высоты – определим из соотношения

Проекции вектора перегрузки на оси координат:

;

Следует отметить, что на режиме набора высоты q > 0 и nx > 0 .

Рис. 6.10. Силы, действующие на самолет
при снижении

Лекции и примеры решения задач по теормеху, сопромату, ТММ и ДМ

Если под действием приложенной силы твердое тело может совершать вращение вокруг некоторой точки, то для того, чтобы охарактеризовать вращательный эффект силы вводится понятие – момент силы относительно точки (или центра).

Определение

Моментом относительно точки (рисунок 1.1) называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы.

Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки.

Вычисление момента

Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также дает меру этого действия:

где hплечо силы (кратчайшее расстояние от точки O – центра момента – до линии действия силы). Если сила проходит через точку, то ее момент относительно этой точки равен нулю.

Момент силы относительно точки не меняется от переноса силы вдоль линии ее действия.

Если силы расположены в одной плоскости, то используется понятие алгебраического момента силы.

Алгебраическим моментом силы относительно точки (или центра) называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо (рисунок 1.2).

Правило знаков

Если сила F задана своими проекциями на оси координат Fx, Fy, Fz и даны координаты x, y, z точки приложения этой силы, то момент силы относительно начала координат вычисляется следующим образом:

Проекции момента силы на оси координат равны:

Лекции и примеры решения задач по теормеху, сопромату, ТММ и ДМ

Момент силы относительно оси, например Oz (рисунок 1.18), равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси ( F’) относительно точки пересечения оси с плоскостью, т.е.

Момент считается положительным, если мы смотрим навстречу оси и видим проекцию силы, стремящуюся повернуть плоскость чертежа в направлении против хода часовой стрелки.

Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось, т.е. h=0 (например Mz(P)), или сила параллельна оси, т.е. ее проекция на плоскость равна нулю, например, Mz(Q).

Момент силы относительно оси – скалярная величина.

Моменты силы относительно координатных осей можно получить, расписав векторное произведение

Величины, стоящие в скобках, представляют собой моменты силы F относительно соответствующих осей.

Проекция силы на ось

Читайте также:

  1. N B – проекция вектора B
  2. Матричная проекция интегрированного
  3. Метрические задачи. Ортогональная проекция прямого угла
  4. Наклонная, перпендикуляр и проекция в евклидовом пространстве.
  5. Ортогональная (прямоугольная) диметрическая проекция
  6. Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция
  7. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая.
  8. Проекция силы на ось и на плоскость.
  9. Сечение и проекция.
  10. Ядра ромбовидной ямки. Ядра черепных нервов. Проекция ядер черепных нервов на ромбовидную ямку.

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом

ЛЕКЦИЯ 3

Знать аналитический способ определения равнодействующей силы, условия равновесия плоской сходящейся системы сил в ана­литической форме.

Уметь определять проекции силы на две взаимно перпендику­лярные оси, решать задачи на равновесие в аналитической форме.

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля си­лы на косинус угла между вектором силы и положительным направ­лением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 3.3).

| следующая лекция ==>
Решение задач на равновесие геометрическим способом | Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом

Дата добавления: 2014-01-05 ; Просмотров: 812 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Проекция силы на ось и на плоскость

Теорема о трех силах

Теорема. Три непараллельные силы, ле-жащие в одной плоскости, могут нахо-диться в равновесии только если линии их действия пересекаются в одной точке.

На рис. показана система трѐхуравнове-шенных сил и , причем линии дей-ствия сил и пересекаются в точке А.

Воспользуемся аксиомами III и IV, т.е. пе-ренесѐм силы и в точку А и найдѐм их равнодействующую . Тогда заданная система трѐх сил , будет эквивалентна системе двух сил и . Эта система (по аксиоме III) может находиться в рановесии только если силы и будут лежать на одной пря-мой. Следовательно, линия действия силы тоже должна проходить через точку А.

В прямоугольной системе координат XYZ (рис. 2.1) сила задается модулем , углами QUOTE α, β, γ

, образованными силой с осями координат и точкой приложения силы (точка А). Положение точки Аопределяется координатами . Углы QUOTE α, β, γ назы­ваются направляющими углами. Проекция силы на каждую координатную ось равна произведению модуля силы на косинус направляющего угла:

(2.1)

Если же заданы проекции силы , то модуль силы и косинусы направляющих углов определятся по

Геометрический способ сложения сил. Геометрическая сумма (главный вектор) системы сил F1, F2, . Fn определяется построением силового многоугольника. Для этого пользуются правилом сложения векторов. В произвольной точке О вектор R, соединяющий начало первого вектора F1 с концом последнего Fn изображает геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

R = F1 + F2 + . + Fn = SFk. (k = 1, 2, . n)

.

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси:

Проекция силы на ось и на плоскость

Перейдем к рассмотрению аналитического (численного) метода решения задач статики. Этот метод основывается на понятии о проекции силы на ось. Как и для всякого другого вектора, проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус – если в отрицательном. Из определения следует, что проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу. Этим удобно пользоваться при вычислении проекции силы на ось, не лежащую в одной плоскости с силой.

Обозначать проекцию силы F на ось Ох будем символом . Тогда для сил, изображенных на рисунке, получим:

.

Но из чертежа видно, что AВ1=F cosα, ЕD1=Q cosβ=-Q cosα1.

, .

т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. При этом проекция будет положительной, если угол между направлением силы и положительным направлением оси – острый, и отрицательной, если этот угол – тупой; если сила перпендикулярна к оси, то ее проекция на ось равна нулю.

Проекцией силы F на плоскость Oxy называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость . Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Oxy. По модулю Fxy=F cosθ, где θ — угол между направлением силы F и ее проекции Fxy. В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рисунке, найдем таким способом, что

Способ двойного проецирования.

Суть способа состоит в том, что вначале находят проекцию силы на плоскость, в которой эта ось расположена, а затем – проекцию полученного вектора на ось. Так, для определения проекций силы на оси

(рис. 2.1) вначале находим проекцию силы на плоскость xOy и получаем вектор , а затем

; .

Проекцию силы на ось z находим по обычному правилу, т.е. .

Проекция силы на ось и на плоскость

Проекция силы на ось – алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.

Проекция Fx (рис 1.24) силы

на ось х положительна, если угол a острый, отрицательна – если угол a тупой. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равна нулю.

Проекция силы

на плоскость Оху – вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость. Т.е. проекция силы на плоскость величина векторная, характеризуется не только числовым значением, но и направлением в плоскости Оху (рис.1.25).

Тогда модуль проекции

на плоскость Оху будет равен:

где a – угол между направлением силы

и ее проекцией .

Если сила и ось координат не лежат в одной плоскости, то проекция силы на ось проводится методом двойного проецирования.

Например, чтобы определить проекцию силы

на ось х, надо спроецировать ее на плоскость Оху, а затем разложить проекцию силы на составляющие по осям координат Fx и Fy (рис. 1.25):

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9590 –

| 7566 – или читать все.

185.189.13.12 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Проекция силы на ось

Часто геометрическое сложение векторов сил требует сложных и громоздких построений. В таких случаях прибегают к другому методу, где геометрическое построе­ние заменено вычислениями скалярных величин. Дости­гается это проектированием заданных сил на оси прямо­угольной системы координат.

Как известнее из математики, осью называют неограни­ченную прямую линию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скаляр­ной величиной, которая определяется отрезком оси, отсе­каемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на ось.

Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (), если направление от на­чала проекции к ее концу противоположно положитель­ному направлению оси.

Рассмотрим ряд случаев проектирования сил на ось.

  1. Дана сила Р (рис.а), она лежит в одной пло­скости с осью х. Вектор силы составляет с положительным направлением оси острый уголα.

Чтобы найти величину проекции, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х, полу­чаем

Рх = ab = Р cos α.

Проекция вектора в данном случае положительна.

2. Дана сила Q (рис. б), которая лежит в одной плоскости с осью х, но ее вектор составляет с положи­тельным направлением оси тупой угол α.

Проекция силы Q на ось х

Qх = ab = Q cos α,

cos a = — cos β.

Так как α > 90°, то cos cos αотрицательная величина. Выразив cos α через cos β (β — острый угол), оконча­тельно получим

В этом случае проекция силы отрицательна.

Итак, проекция силы на ось координат равна произве­дению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

При определении проекции вектора силы на ось поль­зуются обычно косинусом острого угла, независимо от того, с каким направлением оси — положительным или отрицательным — он образо­ван. Знак проекции легче устанавливать непосредствен­но по чертежу.

Силу, расположенную на плоскости хОу, можно спроек­тировать на две координатные оси Ох и Оу. Рассмотрим рисунок.

На нем изображена сила Р и ее проекции Рх и Ру. Ввиду того что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника ABC следует:

Этими формулами можно пользоваться для определения величины и направления силы, когда из­вестны ее проекции на координатные оси. Эти же формулы могут применяться для определения величины и направ­ления любого вектора через его проекции.

Автор статьи: Татьяна Ефимова

Позвольте представиться. Меня зовут Татьяна. Я уже более 8 лет занимаюсь психологией. Считая себя профессионалом, хочу научить всех посетителей сайта решать разнообразные задачи. Все данные для сайта собраны и тщательно переработаны для того чтобы донести как можно доступнее всю необходимую информацию. Перед применением описанного на сайте всегда необходима ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ консультация с профессионалами.

Обо мнеОбратная связь
Еще статьи:  Найти 3 проекцию
Оценка 5 проголосовавших: 3
ПОДЕЛИТЬСЯ

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here