Проекция импульса тела

Татьяна Ефимова предлагает статью на тему: "проекция импульса тела" с детальным описанием.

§ 20. Импульс тела. Закон сохранения импульса

Законы Ньютона позволяют решать различные практически важные задачи, касающиеся взаимодействия и движения тел. Большое число таких задач связано, например, с нахождением ускорения движущегося тела, если известны все действующие на это тело силы. А затем по ускорению определяют и другие величины (мгновенную скорость, перемещение и др.).

Но часто бывает очень сложно определить действующие на тело силы. Поэтому для решения многих задач используют ещё одну важнейшую физическую величину — импульс тела.

  • Импульсом тела р называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость

Импульс — векторная величина. Направление вектора импульса тела всегда совпадает с направлением вектора скорости движения.

За единицу импульса в СИ принимают импульс тела массой 1 кг, движущегося со скоростью 1 м/с. Значит, единицей импульса тела в СИ является 1 кг • м/с.

При расчётах пользуются уравнением для проекций векторов: рх = mvx.

В зависимости от направления вектора скорости по отношению к выбранной оси X проекция вектора импульса может быть как положительной, так и отрицательной.

Слово «импульс» (impulsus) в переводе с латинского означает «толчок». В некоторых книгах вместо термина «импульс» используется термин «количество движения».

Эта величина была введена в науку примерно в тот же период времени, когда Ньютоном были открыты законы, названные впоследствии его именем (т. е. в конце XVII в.).

При взаимодействии тел их импульсы могут изменяться. В этом можно убедиться на простом опыте.

Два шарика одинаковой массы подвешивают на нитяных петлях к укреплённой на кольце штатива деревянной линейке, как показано на рисунке 44, а.

Рис. 44. Демонстрация закона сохранения импульса

Шарик 2 отклоняют от вертикали на угол а (рис. 44, б) и отпускают. Вернувшись в прежнее положение, он ударяет по шарику 1 и останавливается. При этом шарик 1 приходит в движение и отклоняется на тот же угол а (рис. 44, в).

В данном случае очевидно, что в результате взаимодействия шаров импульс каждого из них изменился: на сколько уменьшился импульс шара 2, на столько же увеличился импульс шара 1.

Если два или несколько тел взаимодействуют только между собой (т. е. не подвергаются воздействию внешних сил), то эти тела образуют замкнутую систему.

Импульс каждого из тел, входящих в замкнутую систему, может меняться в результате их взаимодействия друг с другом. Но

  • векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени при любых движениях и взаимодействиях этих тел

В этом заключается закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса выполняется и в том случае, если на тела системы действуют внешние силы, векторная сумма которых равна нулю. Покажем это, воспользовавшись для вывода закона сохранения импульса вторым и третьим законами Ньютона. Для простоты рассмотрим систему, состоящую только из двух тел — шаров массами m1 и m2, которые движутся прямолинейно навстречу друг другу со скоростями v1 и v2 (рис. 45).

Рис. 45. Система из двух тел — шаров, движущихся прямолинейно навстречу друг другу

Силы тяжести, действующие на каждый из шаров, уравновешиваются силами упругости поверхности, по которой они катятся. Значит, действие этих сил можно не учитывать. Силы сопротивления движению в данном случае малы, поэтому их влияние мы тоже не будем учитывать. Таким образом, можно считать, что шары взаимодействуют только друг с другом.

Из рисунка 45 видно, что через некоторое время шары столкнутся. Во время столкновения, длящегося в течение очень короткого промежутка времени t, возникнут силы взаимодействия F1 и F2, приложенные соответственно к первому и второму шару. В результате действия сил скорости шаров изменятся. Обозначим скорости шаров после соударения буквами v1 и v2.

В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия шаров равны по модулю и направлены в противоположные стороны:

По второму закону Ньютона каждую из этих сил можно заменить произведением массы и ускорения, полученного каждым из шаров при взаимодействии:

Ускорения, как вы знаете, определяются из равенств:

Заменив в уравнении для сил ускорения соответствующими выражениями, получим:

В результате сокращения обеих частей равенства на t получим:

Сгруппируем члены этого уравнения следующим образом:

Учитывая, что mv = p, запишем уравнение (1) в таком виде:

Левые части уравнений (1) и (2) представляют собой суммарный импульс шаров после их взаимодействия, а правые — суммарный импульс до взаимодействия.

Значит, несмотря на то, что импульс каждого из шаров при взаимодействии изменился, векторная сумма их импульсов после взаимодействия осталась такой же, как и до взаимодействия.

Уравнения (1) и (2) являются математической записью закона сохранения импульса.

Поскольку в данном курсе рассматриваются только взаимодействия тел, движущихся вдоль одной прямой, то для записи закона сохранения импульса в скалярной форме достаточно одного уравнения, в которое входят проекции векторных величин на ось X:

10. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Реактивное движение.

Импульс тела(материальной точки)

– векторная физическая величина, равная произведению массы этого тела (материальной точки) на его скорость:

Единицей импульса в СИ является 1 кг·м/с.

Изменение импульсаматериальной точки

за некоторый промежуток времени – вектор, равный разности конечного и начального вектора импульса:(рис. 1).
Еще статьи:  Но зато полюбит твоя кончелыга дама

Импульс силы– это векторная физическая величина, равная произведению среднего значения силы на промежуток времени ее действия:

.

Второй закон Ньютона для материальной точки может быть записан с использованием понятий импульса силы и импульса материальной точки (в импульсном виде):

,

При скоростях близких к скорости света следует пользоваться другим определением импульса материальной точки.

Импульсом системы телназывается сумма векторов импульсов всех тел этой системы.

Силы, действующие между телами системы, называются внутренними.Силы, характеризующие воздействие тел, не входящих в систему, на тела системы, называютсявнешними.

На основе второго и третьего законов Ньютона может быть доказан закон сохранения импульса системы тел: в инерциальной системе отсчета импульс системы тел остается неизменным, если на систему не действуют внешние силы.

Приближенно он выполняется и в случаях, когда внешние силы конечны, а процессы, происходящие в системе, являются быстрыми и вызваны большими внутренними силами (столкновение тел, взрыв, выстрел и т. п.). Кроме того, если сумма внешних сил не равна нулю, но проекция суммы внешних сил на выбранную ось равна нулю, то сохраняется проекция импульса системы на эту ось.

На рисунке 2 приведены примеры реальных процессов, в которых закон сохранения импульса системы тел выполняется точно, приближенно и в проекции на выбранную ось.

, где – скорость после сцепки вагона и вагонетки, так как сумма внешних сил равна нулю

, где m1 и m2 – массы, 1 и 2– скорости осколков снаряда после его разрыва, а – его скорость до разрыва. Силы тяжестиm1иm2конечны, а время взаимодействия мало

, но M1x + m2x = (M + m)ux, т.е. M1 = (M + m)u, так как вдоль горизонтальной оси внешние силы на вагонетку и камень не действуют

Следует иметь в виду, что импульс тела – векторная физическая величина и его сохранение в случае равенства нулю суммы внешних сил означает выполнение векторного равенства. Например, при взаимодействии двух тел, движущихся в одной плоскости, это означает выполнение двух скалярных уравнений для проекций импульсов одновременно. Примером может служить нецентральный удар бильярдных шаров:

m1

1x + m22x = m1u1x + m2u2x

m1

1y + m22y = m1u1y + m2u2y

Реактивное движение– движение тела, возникающее при отделении от него с какой-либо скоростью некоторой его части. Если отделение частей тела происходит быстро, то для этих частей (осколки снаряда, ракета (рис. 3) и вылетающая порция продуктов сгорания топлива, тело медузы и порция выброшенной воды) выполняется закон сохранения импульса.

Проекция импульса тела

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Проекция момента импульса твердого тела на произвольную ось, проходящую через полюс 0, равна проекции на эту ось векторного произведения радиуса-вектора и вектора импульса тела относительно того же полюса 0, лежащего на этой оси, т.е.

Если у твердого тела ось симметрии совпадает с осью вращения, то векторы моментов импульсов для м.т., лежащих по разные стороны от оси вращения (на рис. 5.10 точки 1 и 2, соответственно) при суммировании дают результирующий вектор момента импульса, который лежит на оси вращения. Его направление определяется правилом правого винта и совпадает с направлением вектора угловой скорости, т.е.

Модуль этого вектора равен проекции вектора момента импульса на ось вращения, например, ось Z (см. рис. 5.10).

I. Механика

Тестирование онлайн

Импульс тела

Пуля 22-го калибра имеет массу всего 2 г. Если кому-нибудь бросить такую пулю, то он легко сможет поймать ее даже без перчаток. Если же попытаться поймать такую пулю, вылетевшую из дула со скоростью 300 м/с, то даже перчатки тут не помогут.

Если на тебя катится игрушечная тележка, ты сможешь остановить ее носком ноги. Если на тебя катится грузовик, следует уносить ноги с его пути.

Импульс это векторная величина, которая определяется по формуле

Импульс служит мерой того, насколько велика должна быть сила, действующая в течение определенного времени, чтобы остановить или разогнать его с места до данной скорости.

Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением вектора скорости.

Если тело покоится, импульс равен нулю. Ненулевым импульсом обладает любое, движущееся тело. Например, когда мяч покоится, его импульс равен нулю. После удара он приобретает импульс. Импульс тела изменяется, так как изменяется скорость.

Импульс силы

Это векторная величина, которая определяется по формуле

Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей всех сил, действующих на тело. Это иная формулировка второго закона Ньютона

Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела.

Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара – 30 м/с. Сила, с которой нога действовала на мяч – 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.

Изменение импульса тела

Как определить изменение импульса тела? Необходимо найти численное значение импульса в один момент времени, затем импульс через промежуток времени. От второй найденной величины отнять первую. Внимание! Вычитать надо вектора, а не числа. То есть из второго вектора импульса отнять первый вектор. Смотрите вычитание векторов.

Пример. Оценить среднюю силу со стороны пола, действующую на мяч во время удара.

1) Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции опоры, сила тяжести.

Сила реакции изменяется в течение времени удара, поэтому возможно найти среднюю силу реакции пола.

2) Изменение импульса

тела изображено на рисунке

3) Из второго закона Ньютона

Главное запомнить

1) Формулы импульса тела, импульса силы;
2) Направление вектора импульса;
3) Находить изменение импульса тела

Вывод второго закона Ньютона в общем виде

График F(t). Переменная сила

Импульс силы численно равен площади фигуры под графиком F(t).

Если же сила непостоянная во времени, например линейно увеличивается F=kt, то импульс этой силы равен площади треугольника. Можно заменить эту силу такой постоянной силой, которая изменит импульс тела на ту же величину за тот же промежуток времени

Для применения законов изменения и сохранения импульса необходимо уметь рассчитывать изменение импульса.

Изменение импульса Δ P → тела определяется формулой

Δ P → = P → 2 − P → 1 ,

где P → 1 = m v → 1 — начальный импульс тела; P → 2 = m v → 2 — его конечный импульс; m — масса тела; v → 1 — начальная скорость тела; v → 2 — его конечная скорость.

Для вычисления изменения импульса тела целесообразно применять следующий алгоритм :

1) выбрать систему координат и найти проекции начального P → 1 и конечного P → 2 импульсов тела на координатные оси:

2) рассчитать проекции изменения импульса Δ P → по формулам

∆ P x = P 2 x − P 1 x ;

∆ P y = P 2 y − P 1 y ;

3) вычислить модуль вектора изменения импульса Δ P → как

Δ P = Δ P x 2 + Δ P y 2 .

Пример 4. Тело падает под углом 30° к вертикали на горизонтальную плоскость. Определить модуль изменения импульса тела за время удара, если к моменту соприкосновения с плоскостью модуль импульса тела равен 15 кг · м/с. Удар тела о плоскость считать абсолютно упругим.

Решение. Тело, падающее на горизонтальную поверхность под некоторым углом α к вертикали и соударяющееся с данной поверхностью абсолютно упруго,

  • во-первых, сохраняет неизменным модуль своей скорости, а значит, и величину импульса:
  • во-вторых, отражается от поверхности под тем же углом, под каким падает на нее:

где P 1 = mv 1 — модуль импульса тела до удара; P 2 = mv 2 — модуль импульса тела после удара; m — масса тела; v 1 — величина скорости тела до удара; v 2 — величина скорости тела после удара; α 1 — угол падения; α 2 — угол отражения.

Указанные импульсы тела, углы и система координат показаны на рисунке.

Для расчета модуля изменения импульса тела воспользуемся алгоритмом :

1) запишем проекции импульсов до удара и после удара тела о поверхность на координатные оси:

P 1 x = mv sin α, P 2 x = mv sin α;

P 1 y = − mv cos α, P 2 y = mv cos α;

2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по фор­мулам

Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v sin α − m v sin α = 0 ;

Δ P y = P 2 y − P 1 y = m v cos α − ( − m v cos α ) = 2 m v cos α ;

3) вычислим модуль изменения импульса как

Δ P = ( Δ P x ) 2 + ( Δ P y ) 2 = ( Δ P y ) 2 = | Δ P y | = 2 m v cos α .

Величина P = mv задана в условии задачи; следовательно, вычисление модуля изменения импульса произведем по формуле

Δ P = 2 P cos 30 ° = 2 ⋅ 15 ⋅ 0,5 3 ≈ 26 кг ⋅ м/с.

Пример 5. Камень массой 50 г брошен под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Найти модуль изменения импульса камня за время полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Если сопротивление воздуха отсутствует, то тело движется по симметричной параболе; при этом

  • во-первых, вектор скорости в точке падения тела составляет с горизонтом угол β, равный углу α (α — угол между вектором скорости тела в точке бросания и горизонтом):
  • во-вторых, модули скоростей в точке бросания v 0 и в точке падения тела v также одинаковы:

где v 0 — величина скорости тела в точке бросания; v — величина скорости тела в точке падения; α — угол, который составляет вектор скорости с горизонтом в точке бросания тела; β — угол, который составляет с горизонтом вектор скорости в точке падения тела.

Векторы скорости тела (векторы импульса) и углы показаны на рисунке.

Для расчета модуля изменения импульса тела во время полета воспользуемся алгоритмом :

1) запишем проекции импульсов для точки бросания и для точки падения на координатные оси:

P 1 x = mv 0 cos α, P 2 x = mv 0 cos α;

P 1 y = mv 0 sin α, P 2 y = − mv 0 sin α;

2) найдем проекции изменения импульса на координатные оси по формулам

Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v 0 cos α − m v 0 cos α = 0 ;

Δ P y = P 2 y − P 1 y = − m v 0 sin α − m v 0 sin α = − 2 m v 0 sin α ;

3) вычислим модуль изменения импульса как

Δ P = ( Δ P x ) 2 + ( Δ P y ) 2 = ( Δ P y ) 2 = | Δ P y | = 2 m v 0 sin α ,

где m — масса тела; v 0 — модуль начальной скорости тела.

Следовательно, вычисление модуля изменения импульса произведем по формуле

Δ P = 2 m v 0 sin 45 ° = 2 ⋅ 50 ⋅ 10 − 3 ⋅ 20 ⋅ 0,5 2 ≈ 1,4 кг ⋅ м/с.

Импульсом обладают только движущиеся тела.

Импульс тела вычисляется по формуле

где m — масса тела; v → — скорость тела.

В Международной системе единиц импульс тела измеряется в килограммах, умноженных на метр, деленный на секунду (1 кг ⋅ м/с).

Импульс системы тел (рис. 3.1) есть векторная сумма импульсов тел, входящих в эту систему:

P → = P → 1 + P → 2 + . + P → N =

= m 1 v → 1 + m 2 v → 2 + . + m N v → N ,

где P → 1 = m 1 v → 1 — импульс первого тела ( m 1 — масса первого тела; v → 1 — скорость первого тела); P → 2 = m 2 v → 2 — импульс второго тела ( m 2 — масса второго тела; v → 2 — скорость второго тела) и т.п.

Для вычисления импульса системы тел целесообразно применять следующий алгоритм :

1) выбрать систему координат и найти проекции импульсов каждого тела на координатные оси:

P 1 x , P 2 x , . P Nx ;

P 1 y , P 2 y , . P Ny ,

где P 1 x , . P Nx ; P 1 y , . P Ny —проекции импульсов тел на координатные оси;

2) рассчитать проекции импульса системы тел на координатные оси суммированием соответствующих проекций импульсов каждого из тел:

P x = P 1 x + P 2 x + . + P Nx ;

P y = P 1 y + P 2 y + . + P Ny ;

3) вычислить модуль импульса системы по формуле

P = P x 2 + P y 2 .

Пример 1. На горизонтальной поверхности покоится тело. На него начинает действовать сила 30 Н, направленная параллельно поверхности. Рассчитать модуль импульса тела через 5,0 с после начала движения, если сила трения равна 10 Н.

Решение. Модуль импульса тела зависит от времени и определяется произведением

где m — масса тела; v — модуль скорости тела в момент времени t 0 = 5,0 c.

При равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью ( v 0 = 0) величина скорости тела зависит от времени по закону

где a — модуль ускорения; t — время.

Подстановка зависимости v ( t ) в формулу для определения модуля импульса дает выражение

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению произведения ma .

Для этого запишем основной закон динамики (второй закон Ньютона) в виде:

F → + F → тр + N → + m g → = m a → ,

или в проекциях на координатные оси

O x : F − F тр = m a ; O y : N − m g = 0, >

где F — модуль силы, приложенной к телу в горизонтальном направлении; F тр — модуль силы трения; N — модуль силы нормальной реакции опоры; mg — модуль силы тяжести; g — модуль ускорения свободного падения.

Силы, действующие на тело, и координатные оси изображены на рисунке.

Из первого уравнения системы следует, что искомое произведение определяется разностью

Следовательно, зависимость величины импульса тела от времени определяется выражением

P ( t ) = ( F − F тр ) t ,

а его значение в указанный момент времени t 0 = 5 c — выражением

P ( t ) = ( F − F тр ) t 0 = ( 30 − 10 ) ⋅ 5,0 = 100 кг ⋅ м/с.

Пример 2. Тело движется в плоскости xOy по траектории вида x 2 + y 2 = 64 под действием центростремительной силы, величина которой равна 18 Н. Масса тела составляет 3,0 кг. Считая, что координаты x и y заданы в метрах, найти величину импульса тела.

Решение. Траектория движения тела представляет собой окружность радиусом 8,0 м. Согласно условию задачи на тело действует только одна сила, направленная к центру этой окружности.

Модуль указанной силы является постоянной величиной, поэтому тело обладает только нормальным (центростремительным) ускорением. Наличие постоянного центростремительного ускорения не влияет на величину скорости тела; следовательно, движение тела по окружности происходит с постоянной скоростью.

Рисунок иллюстрирует данное обстоятельство.

Величина центростремительной силы определяется формулой

F ц . с = m v 2 R ,

где m — масса тела; v — модуль скорости тела; R — радиус окружности, по которой движется тело.

Выразим отсюда модуль скорости тела:

и подставим полученное выражение в формулу, определяющую величину импульса:

P = m v = m F ц . с R m = F ц . с R m .

P = 18 ⋅ 8,0 ⋅ 3,0 ≈ 21 кг ⋅ м/с.

Пример 3. Два тела движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. Масса первого тела равна 3,0 кг, а величина его скорости составляет 2,0 м/с. Масса второго тела — 2,0 кг, а величина его скорости — 3,0 м/с. Найти модуль импульса системы тел.

Решение. Тела, движущиеся во взаимно перпендикулярных направлениях, изобразим в системе координат, как показано на рисунке:

  • вектор скорости первого тела направим вдоль положительного направления оси Ox ;
  • вектор скорости второго тела направим вдоль положительного направления оси Oy .

Для расчета модуля импульса системы тел воспользуемся алгоритмом :

1) запишем проекции импульсов первого P → 1 и второго P → 2 тел на координатные оси:

P 1 x = m 1 v 1 ; P 2 x = 0;

P 1 y = 0, P 2 y = m 2 v 2 ,

где m 1 — масса первого тела; v 1 — величина скорости первого тела; m 2 — масса второго тела; v 2 — величина скорости второго тела;

2) найдем проекции импульса системы на координатные оси, суммируя соответствующие проекции каждого из тел:

P x = P 1 x + P 2 x = P 1 x = m 1 v 1 ;

P y = P 1 y + P 2 y = P 2 y = m 2 v 2 ;

3) вычислим величину импульса системы тел по формуле

P = P x 2 + P y 2 = ( m 1 v 1 ) 2 + ( m 2 v 2 ) 2 =

= ( 3,0 ⋅ 2,0 ) 2 + ( 2,0 ⋅ 3,0 ) 2 ≈ 8,5 кг ⋅ м/с.

Учебник. Импульс тела

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила F → . Под действием этой силы скорость тела изменилась на Δ υ → = υ → 2 – υ → 1 . Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением a → = Δ υ → Δ t = υ → 2 – υ → 1 Δ t .

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует: F → = m a → = m ( υ → 2 – υ → 1 ) Δ t или F → Δ t = m υ → 2 – m υ → 1 = m Δ υ → = Δ ( m υ → ) .

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кгċм/с).

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.

В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы.

Обозначив импульс тела буквой p → , второй закон Ньютона можно записать в виде F → Δ t = Δ p → .

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила F → в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси: Fx Δt = Δpx; Fy Δt = Δpy; Fz Δt = Δpz.

Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ под действием силы тяжести; время падения равно t. Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести Fт = mg за время t равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела Fтt = mgt = Δp = m (υ – υ), откуда υ = υ + gt.

Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы Fср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.

Вычисление импульса силы по графику зависимости F(t)

Выберем на оси времени малый интервал Δt, в течение которого сила F (t) остается практически неизменной. Импульс силы F (t) Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от до t разбить на малые интервалы Δti, а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δti, то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δti → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F (t) и осью t. Этот метод определения импульса силы по графику F (t) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F (t) на интервале [0; t].

Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t1 = 0 с до t2 = 10 с равен: F ср ( t 2 – t 1 ) = 1 2 F max ( t 2 – t 1 ) = 100 Н ċ с = 100 кг ċ м / с.

В этом простом примере F ср = 1 2 F max = 10 Н.

В некоторых случаях среднюю силу Fср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8ċ10 –3 с.

Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть: p = mυ = 12,5 кгċм/с.

Следовательно, средняя сила Fср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть: F ср = p Δ t = 1,56 ċ 10 3 Н.

Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг.

Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный p → 1 и конечный p → 2 импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса Δ p → удобно использовать диаграмму импульсов, на которой изображаются вектора p → 1 и p → 2 , а также вектор Δ p → = p → 2 – p → 1 , построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью υ → 1 под углом α к нормали (ось OX) и отскочил от нее со скоростью υ → 2 под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила F → , направление которой совпадает с направлением вектора Δ p → .

Отскок мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов

При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью υ → 1 = υ → после отскока мяч будет иметь скорость υ → 2 = – υ → . Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно Δ p → = – 2 m υ → . В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δpx = –2mυx. Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υx 0. Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δp = 2mυ.

ГЛАВА 9. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

(9) тело, соскальзывающее по шероховатой поверхности клина, который может двигаться по гладкой горизонтальной поверхности, и клин;

(10) тело, соскальзывающее по шероховатой поверхности клина, который может двигаться по шероховатой горизонтальной поверхности, и клин.

Решение. (1) Поскольку на тело никакие силы не действуют, оно представляет собой замкнутую систему. Поэтому вектор импульса свободного тела сохраняется. Факт сохранения импульса свободного тела составляет также содержание первого закона Ньютона.

(2) Поскольку действует внешняя сила со стороны поля, импульс тела изменяется, однако проекция импульса на направление, перпендикулярное силе, будет сохраняться. Вектор импульса тела не будет также успевать измениться за малое время. Действительно, согласно второму закону Ньютона изменение импульса тела за малое время Δ t составляет , где – действующая на тело сила. Поэтому в течение очень малого интервала времени Δ t → 0 вектор импульса тела не будет успевать изменяться.

(3) На тело со стороны стенки действует внешняя сила реакции, перпендикулярная стенке, поэтому вектор импульса тела в процессе удара изменяется. Причем это изменение не будет малым, даже за очень малый интервал времени, включающий момент удара. Это связано с тем, что при очень малом времени удара сила реакции будет очень большой и успеет изменить импульс тела. Проекция импульса на направление, перпендикулярное внешней силе, т.е. параллельное стенке, будет сохраняться.

(4) Сохраняется вектор импульса снаряда (системы осколков). Это значит, что импульс снаряда до взрыва равен сумме импульсов осколков в любой момент после взрыва, в том числе и через большое время.

(5) Сохраняются проекции импульса снаряда (системы осколков) на направления, параллельные поверхности земли. Это сохранение является точным (конечно, при условии отсутствия силы сопротивления воздуха) и справедливо в любой момент после взрыва, но пока осколки не упали на землю. Вертикальная компонента импульса с течением времени будет меняться, однако имеет место приближенное сохранение вертикальной проекции и, следовательно, вектора импульса снаряда – системы осколков за малый интервал времени, включающий момент взрыва.

Импульс тела

Если на тело массой m за определенный промежуток времени Δ t действует сила F → , тогда следует изменение скорости тела ∆ v → = v 2 → – v 1 → . Получаем, что за время Δ t тело продолжает движение с ускорением:

a → = ∆ v → ∆ t = v 2 → – v 1 → ∆ t .

Основываясь на основном законе динамики, то есть втором законе Ньютона, имеем:

F → = m a → = m v 2 → – v 1 → ∆ t или F → ∆ t = m v 2 → – m v 1 → = m ∆ v → = ∆ m v → .

Изменение импульса

Импульс тела, или количество движения – это физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения.

Импульс тела считается векторной величиной, которая измеряется в килограмм-метр в секунду ( к г м / с ) .

Импульс силы – это физическая величина, равняющаяся произведению силы на время ее действия.

Импульс относят к векторным величинам. Существует еще одна формулировка определения.

Изменение импульса тела равняется импульсу силы.

При обозначении импульса p → второй закон Ньютона записывается как:

Данный вид позволяет формулировать второй закон Ньютона. Сила F → является равнодействующей всех сил, действующих на тело. Равенство записывается как проекции на координатные оси вида:

F x Δ t = Δ p x ; F y Δ t = Δ p y ; F z Δ t = Δ p z .

Рисунок 1 . 16 . 1 . Модель импульса тела.

Изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось.

Одномерное движение – это движение тела по одной из координатный осей.

На примере рассмотрим свободное падение тела с начальной скоростью v 0 под действием силы тяжести за промежуток времени t . При направлении оси O Y вертикально вниз импульс силы тяжести F т = mg , действующий за время t , равняется m g t . Такой импульс равняется изменению импульса тела:

F т t = m g t = Δ p = m ( v – v 0 ) , откуда v = v 0 + g t .

Запись совпадает с кинематической формулой определения скорости равноускоренного движения. По модулю сила не изменяется из всего интервала t . Когда она изменяема по величине, тогда формула импульса требует подстановки среднего значения силы F с р из временного промежутка t . Рисунок 1 . 16 . 2 показывает, каким образом определяется импульс силы, которая зависит от времени.

Рисунок 1 . 16 . 2 . Вычисление импульса силы по графику зависимости F ( t )

Необходимо выбрать на временной оси интервал Δ t , видно, что сила F ( t ) практически неизменна. Импульс силы F ( t ) Δ t за промежуток времени Δ t будет равняться площади заштрихованной фигуры. При разделении временной оси на интервалы на Δ t i на промежутке от от 0 до t , сложить импульсы всех действующих сил из этих промежутков Δ t i ,тогда суммарный импульс силы будет равняться площади образования при помощи ступенчатой и временной осей.

Применив предел ( Δ t i → 0 ) , можно найти площадь, которая будет ограничиваться графиком F ( t ) и осью t . Использование определения импульса силы по графику применимо с любыми законами, где имеются изменяющиеся силы и время. Данное решение ведет к интегрированию функции F ( t ) из интервала [ 0 ; t ] .

Рисунок 1 . 16 . 2 показывает импульс силы, находящийся на интервале от t 1 = 0 с до t 2 = 10 .

Из формулы получим, что F с р ( t 2 – t 1 ) = 1 2 F m a x ( t 2 – t 1 ) = 100 Н · с = 100 к г · м / с .

То есть, из примера видно F с р = 1 2 F m a x = 10 Н .

Определение средней силы

Имеются случаи, когда определение средней силы F с р возможно при известных времени и данных о сообщенном импульсе. При сильной ударе по мячу с массой 0 , 415 к г можно сообщить скорость, равную v = 30 м / с . Приблизительным временем удара является значение 8 · 10 – 3 с .

Тогда формула импульса приобретает вид:

p = m v = 12 , 5 к г · м / с .

Чтобы определить среднюю силу F с р во время удара, необходимо F с р = p ∆ t = 1 , 56 · 10 3 Н .

Получили очень большое значение, которое равняется телу массой 160 к г .

Когда движение происходит по криволинейной траектории, то начальное значение p 1 → и конечное
p 2 → могут быть различны по модулю и по направлению. Для определения импульса ∆ p → применяют диаграмму импульсов, где имеются векторы p 1 → и p 2 → , а ∆ p → = p 2 → – p 1 → построен по правилу параллелограмма.

Для примера приводится рисунок 1 . 16 . 2 , где нарисована схема импульсов мяча, отскакивающего от стены. При подаче мяч с массой m со скоростью v 1 → налетает на поверхность под углом α к нормали и отскакивает со скоростью v 2 → с углом β . При ударе в стену мяч подвергался действию силы F → , направленной также, как и вектор ∆ p → .

Рисунок 1 . 16 . 3 . Отскакивание мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов.

Если происходит нормальное падение мяча с массой m на упругую поверхность со скоростью v 1 → = v → , тогда при отскоке она изменится на v 2 → = – v → . Значит, за определенный промежуток времени импульс изменится и будет равен ∆ p → = – 2 m v → . Используя проекции на О Х , результат запишется как Δ p x = – 2 m v x . Из рисунка 1 . 16 . 3 видно, что ось О Х направлена от стенки, тогда следует v x 0 и Δ p x > 0 . Из формулы получим, что модуль Δ p связан с модулем скорости, который принимает вид Δ p = 2 m v .

Автор статьи: Татьяна Ефимова

Позвольте представиться. Меня зовут Татьяна. Я уже более 8 лет занимаюсь психологией. Считая себя профессионалом, хочу научить всех посетителей сайта решать разнообразные задачи. Все данные для сайта собраны и тщательно переработаны для того чтобы донести как можно доступнее всю необходимую информацию. Перед применением описанного на сайте всегда необходима ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ консультация с профессионалами.

Обо мнеОбратная связь
.
Еще статьи:  Адаптация к действиям
Оценка 5 проголосовавших: 3
ПОДЕЛИТЬСЯ

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here