Чаще всего регрессия задается уравнением, которое показывает зависимость между двумя группами числовых переменных. Уравнения бывают двух видов: линейные и нелинейные.
Регрессия бывает двух видов: парная (или двухфакторная) и множественная (или многофакторная). Такие регрессии отличаются друг от друга видом уравнения и количестве независимых переменных. Уравнения парной регрессии относятся к уравнениям регрессии первого порядка, а уравнения множественной регрессии — к нелинейным уравнениям регрессии.
Параметры уравнения линейной регрессии
находятся методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений
Примеры решения задач
Задание
Пусть задана зависимость между выработкой продукции на одного работника и удельного веса рабочих высокой квалификации:
Решение
Выборка состоит из 10 предприятий отрасли, то есть . Уравнение парной регрессии будем искать в виде:
Для определения параметров модели, будем использовать метод наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для определения неизвестных величин
и имеет вид:
Вычислим необходимые значения, для этого построим следующую таблицу:
Составляем систему нормальных уравнений:
Решая полученную систему линейных уравнений любым из известных методов, будем иметь:
Тогда искомое уравнение
Ответ
Задание
Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания () и индексе промышленного производства ():
Необходимо для характеристики зависимости
от рассчитать параметры следующих функций: а) линейной; б) степенной; в) равносторонней гиперболы.
Решение
а) для построения линейной регрессии заполним таблицу:
Для нахождения параметров регрессии, решаем систему нормальных уравнений (1):
То есть уравнение линейной регрессии
.
б) Степенная регрессия имеет вид
.
Прологарифмируем это равенство десятичным логарифмом:
По способу наименьших квадратов строим систему нормальных уравнений для определения параметров регрессии:
Построим расчетную таблицу:
Подставляем в систему:
Решая полученную систему, будем иметь:
Тогда искомое уравнение
в) Уравнение равносторонней гиперболы
.
Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:
Составим таблицу расчетных данных:
Получаем следующую систему нормальных уравнений:
Решая записанную систему, получаем следующие значения параметров регрессии:
Пример расчета коэффициентов уравнения регрессии
Читайте также:
I. Метод уравнения.
I.2.Примеры нелинейных систем управления
IХ. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации
N В условиях интенсивной мышечной работы, при гипоксии (например, интенсивный бег на 200м в течении 30 с) распад углеводов временно протекает в анаэробных условиях
RISC и CISC-архитектуры процессоров. Преимущества и недостатки. Примеры современных процессоров с RISC и CISC-архитектурой.
V ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Администрирование распределенных систем на примере Oracle
Адресация и маршрутизация – функции сетевого уровня пакетной сети передачи данных. Их реализация на примерах IPv4 и RIP.
Алгоритм поверочного теплового расчета
Алгоритм поиска корня уравнения методом деления пополам.
Алгоритм расчета ПП комбинированным методом.
Алгоритм расчета ПП методом сведения к нулевым начальным условиям (Случай замыкания).
Рассмотрим применение регрессионного и корреляционного методов при анализе экономических процессов. Имеются статистические данные о зависимости рентабельности производства продукции (%) по ряду предприятий, производящих одноименную продукцию, от выработки (в стоимостных показателях) на одного среднесписочного работника производственно-промышленного персонала. Полученные данные представлены в таблице (табл. 3):
Таблица 3 – Статистические данные по предприятиям
Номер
Х
Y
11,20
11,05
6,84
9,21
9,42
10,08
9,45
6,73
7.24
6,12
7,63
9,43
9,46
7,64
6,92
8,95
9,33
10,23
11,77
7,41
Итого
176,11
Для прогноза результирующего признака Y применим простую модель парной регрессии, в которой используется только одна факторная переменная — Х.
Анализ табличных данных показывает наличие прямой линейной зависимости между факторным Х (выработки продукции) и результативным признаком Y (рентабельностью производства). Тесноту и направление связи между факторным и результативным признаками определим с помощью коэффициентом корреляции r.
где Xi и Yi – значения факторного и результативного признаков соответственно; n – объем выборки (число пар исходных данных).
Для рассматриваемого примера значение коэффициента корреляции составляет:
r =
= 0,955
Для описания рассматриваемого экономического процесса с помощью метода экономико-математического моделирования рассчитаем параметры уравнения регрессии: Yтеор = b + b1·X .
Данные для расчета параметров представим в табл.4
Таблица 4 – Таблица расчетных данных для определения
коэффициентов уравнения регрессии
X-n
Y-Q
X*X
Y*Y
X*Y
X*X*X
X*X*X*X
Y*X*X
У теор.линия
Утеор.параб.
(Уфакт-Утл)2
(Уфакт-Утпар)2
11,2
125,44
10158,4
6,76751E+11
9213668,8
10,3
10,39
0,739
0,66
11,05
122,1025
10232,3
7,35265E+11
9475109,8
10,5
10,60
0,295
0,21
6,84
46,7856
3461,04
1751286,24
6,8
6,88
0,000
0,00
9,21
84,8241
6824,61
3,0149E+11
5057036,01
8,9
8,74
0,101
0,22
9,42
88,7364
7432,38
3,87532E+11
5864147,82
9,3
9,19
0,012
0,05
10,08
101,6064
8961,12
6,24607E+11
7966435,68
10,2
10,20
0,011
0,01
9,45
89,3025
8259,3
5,83507E+11
7218628,2
10,1
10,04
0,363
0,35
6,73
45,2929
3432,3
6,9
6,91
0,021
0,03
7,24
52,4176
3829,96
2026048,84
7,0
7,04
0,040
0,04
6,12
37,4544
2570,4
6,1
6,34
0,001
0,05
7,63
58,2169
5180,77
2,12559E+11
3517742,83
8,4
8,19
0,519
0,32
9,43
88,9249
8222,96
5,78184E+11
7170421,12
10,0
10,02
0,366
0,35
9,46
89,4916
8741,04
7,28933E+11
8076720,96
10,5
10,57
1,059
1,24
7,64
58,3696
4637,48
1,35755E+11
2814950,36
7,7
7,61
0,007
0,00
6,92
47,8864
3127,84
1413783,68
6,4
6,53
0,304
0,15
8,95
80,1025
6524,55
2,8243E+11
4756396,95
8,8
8,63
0,027
0,10
9,33
87,0489
7408,02
3,9745E+11
5881967,88
9,4
9,23
0,001
0,01
10,23
104,6529
8634,12
5,07423E+11
7287197,28
9,8
9,73
0,193
0,25
11,77
138,5329
11887,7
1,0406E+12
11,2
11,55
0,281
0,05
7,41
54,9081
4601,61
1,48719E+11
2857599,81
7,8
7,72
0,188
0,10
Сумма
176,11
1602,097
134127,9
7,62558E+12
6,528
6,19
Коэффициенты b1 и b линейного уравнения регрессии определяются по формулам (13), (13а):
, .
Подставив данные из таблицы получим следующие значения коэффициентов: b =2,423; b1 = 0,00873 .
Для примера линейное уравнение регрессии имеет вид :
Yтеор = 2,423 + 0,00873·X .
Коэффициент b1 характеризует наклон линии регрессии. b1 = 0,00873 и это означает, что при увеличении Х на единицу ожидаемое значение Y возрастет на 0,00873. Отсюда b1 может быть интерпретирован как прирост нормы рентабельности , который варьирует в зависимости от средней выручки. Свободный член уравнения b =2,423 у. е.; это значение Y при X, равном нулю. Поскольку маловероятно значение выработки , равное нулю, то можно интерпретировать b как меру влияния на величину рентабельности других факторов, не включенных в уравнение регрессии.
Регрессионная модель может быть использована для прогноза уровня рентабельности, (который будет на предприятии, например, где средняя выработка на одного работника составит 600 руб.)
Для того чтобы определить прогнозируемое значение, следует Х = 600 подставить в регрессионное уравнение:
Y = 2,423 + 0,00873 • 600 = 7,661.
Отсюда прогнозируемый уровень рентабельности для предприятия со средней выработкой 600 рублей на одного рабочего ППП составляет 7,661 %.
Коэффициент эластичности для модели Э = 0,00873
= 0,7249, т. е. при увеличении средней выработки на одного работника по отдельному предприятию 1% уровень рентабельности в среднем вырастет на 0,7%.
Изменение уровня рентабельности производственного предприятия, определяемое средней выработкой на одного работника можно определить также с помощью параболической зависимости. Для определения коэффициентов параболы используются формулы, полученные на основе решения системы уравнений (15).
Данные для расчета коэффициентов приведены в табл. 4
В результате расчетов получено уравнение параболы со следующими коэффициентами:
y = 4,7893+0,00156 x+5,1·10 –6 x 2 .
Для проверки адекватности моделей, построенных на основе линейного и параболического уравнения регрессии, проверим значимость каждого коэффициента, используя формулы (20-23).
Из приведенных расчетов видно, что при α = 0,05 значимыми является коэффициенты линейного уравнения регрессии и параболического, за исключением коэффициента, стоящего перед квадратом факторного признака, что свидетельствует об отсутствии квадратичной зависимости между рассматриваемыми признаками моделируемого экономического процесса.
Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета величины средней ошибки аппроксимации
.
Значение средней ошибки аппроксимации для линейной модели составляет
. Уравнение парной регрессии будем искать в виде:
имеет вид:
) и индексе промышленного производства (
):
.
