Уравнение регрессии коэффициенты регрессии

Уравнение регрессии

Определение и уравнение регрессии

Чаще всего регрессия задается уравнением, которое показывает зависимость между двумя группами числовых переменных. Уравнения бывают двух видов: линейные и нелинейные.

Регрессия бывает двух видов: парная (или двухфакторная) и множественная (или многофакторная). Такие регрессии отличаются друг от друга видом уравнения и количестве независимых переменных. Уравнения парной регрессии относятся к уравнениям регрессии первого порядка, а уравнения множественной регрессии — к нелинейным уравнениям регрессии.

Параметры уравнения линейной регрессии

находятся методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений

Примеры решения задач

Задание

Пусть задана зависимость между выработкой продукции на одного работника и удельного веса рабочих высокой квалификации:

Определите теоретическое уравнение парной регрессии.

Решение Выборка состоит из 10 предприятий отрасли, то есть . Уравнение парной регрессии будем искать в виде:

Для определения параметров модели, будем использовать метод наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для определения неизвестных величин

и имеет вид:

Вычислим необходимые значения, для этого построим следующую таблицу:

Составляем систему нормальных уравнений:

Решая полученную систему линейных уравнений любым из известных методов, будем иметь:

Тогда искомое уравнение

Ответ

Задание

Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания () и индексе промышленного производства ():

Необходимо для характеристики зависимости

от рассчитать параметры следующих функций: а) линейной; б) степенной; в) равносторонней гиперболы. Решение а) для построения линейной регрессии заполним таблицу:

Для нахождения параметров регрессии, решаем систему нормальных уравнений (1):

То есть уравнение линейной регрессии

.

б) Степенная регрессия имеет вид

.

Прологарифмируем это равенство десятичным логарифмом:

По способу наименьших квадратов строим систему нормальных уравнений для определения параметров регрессии:

Построим расчетную таблицу:

Подставляем в систему:

Решая полученную систему, будем иметь:

Тогда искомое уравнение

в) Уравнение равносторонней гиперболы

.

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:

Составим таблицу расчетных данных:

Получаем следующую систему нормальных уравнений:

Решая записанную систему, получаем следующие значения параметров регрессии:

Пример расчета коэффициентов уравнения регрессии

Читайте также:

1. I. Метод уравнения.
2. I.2.Примеры нелинейных систем управления
3. IХ. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации
4. N В условиях интенсивной мышечной работы, при гипоксии (например, интенсивный бег на 200м в течении 30 с) распад углеводов временно протекает в анаэробных условиях
5. RISC и CISC-архитектуры процессоров. Преимущества и недостатки. Примеры современных процессоров с RISC и CISC-архитектурой.
6. V ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
7. Администрирование распределенных систем на примере Oracle
8. Адресация и маршрутизация – функции сетевого уровня пакетной сети передачи данных. Их реализация на примерах IPv4 и RIP.
9. Алгоритм поверочного теплового расчета
10. Алгоритм поиска корня уравнения методом деления пополам.
11. Алгоритм расчета ПП комбинированным методом.
12. Алгоритм расчета ПП методом сведения к нулевым начальным условиям (Случай замыкания).

Рассмотрим применение регрессионного и корреляционного методов при анализе экономических процессов. Имеются статистические данные о зависимости рентабельности производства продукции (%) по ряду предприятий, производящих одноименную продукцию, от выработки (в стоимостных показателях) на одного среднесписочного работника производственно-промышленного персонала. Полученные данные представлены в таблице (табл. 3):

Таблица 3 – Статистические данные по предприятиям

Номер	Х	Y
11,20
11,05
6,84
9,21
9,42
10,08
9,45
6,73
7.24
6,12
7,63
9,43
9,46
7,64
6,92
8,95
9,33
10,23
11,77
7,41
Итого	176,11

Для прогноза результирующего признака Y применим простую модель парной регрессии, в которой используется только одна факторная переменная — Х.

Анализ табличных данных показывает наличие прямой линейной зависимости между факторным Х (выработки продукции) и результативным признаком Y (рентабельностью производства). Тесноту и направление связи между факторным и результативным признаками определим с помощью коэффициентом корреляции r.

где X_i и Y_i – значения факторного и результативного признаков соответственно; n – объем выборки (число пар исходных данных).

Для рассматриваемого примера значение коэффициента корреляции составляет:

r =

= 0,955

Для описания рассматриваемого экономического процесса с помощью метода экономико-математического моделирования рассчитаем параметры уравнения регрессии: Y_теор = b + b₁·X .

Данные для расчета параметров представим в табл.4

Таблица 4 – Таблица расчетных данных для определения

коэффициентов уравнения регрессии

X-n	Y-Q	X*X	Y*Y	X*Y	X*X*X	X*X*X*X	Y*X*X	У теор.линия	Утеор.параб.	(Уфакт-Утл)2	(Уфакт-Утпар)2
11,2	125,44	10158,4	6,76751E+11	9213668,8	10,3	10,39	0,739	0,66
11,05	122,1025	10232,3	7,35265E+11	9475109,8	10,5	10,60	0,295	0,21
6,84	46,7856	3461,04	1751286,24	6,8	6,88	0,000	0,00
9,21	84,8241	6824,61	3,0149E+11	5057036,01	8,9	8,74	0,101	0,22
9,42	88,7364	7432,38	3,87532E+11	5864147,82	9,3	9,19	0,012	0,05
10,08	101,6064	8961,12	6,24607E+11	7966435,68	10,2	10,20	0,011	0,01
9,45	89,3025	8259,3	5,83507E+11	7218628,2	10,1	10,04	0,363	0,35
6,73	45,2929	3432,3	6,9	6,91	0,021	0,03
7,24	52,4176	3829,96	2026048,84	7,0	7,04	0,040	0,04
6,12	37,4544	2570,4	6,1	6,34	0,001	0,05
7,63	58,2169	5180,77	2,12559E+11	3517742,83	8,4	8,19	0,519	0,32
9,43	88,9249	8222,96	5,78184E+11	7170421,12	10,0	10,02	0,366	0,35
9,46	89,4916	8741,04	7,28933E+11	8076720,96	10,5	10,57	1,059	1,24
7,64	58,3696	4637,48	1,35755E+11	2814950,36	7,7	7,61	0,007	0,00
6,92	47,8864	3127,84	1413783,68	6,4	6,53	0,304	0,15
8,95	80,1025	6524,55	2,8243E+11	4756396,95	8,8	8,63	0,027	0,10
9,33	87,0489	7408,02	3,9745E+11	5881967,88	9,4	9,23	0,001	0,01
10,23	104,6529	8634,12	5,07423E+11	7287197,28	9,8	9,73	0,193	0,25
11,77	138,5329	11887,7	1,0406E+12	11,2	11,55	0,281	0,05
7,41	54,9081	4601,61	1,48719E+11	2857599,81	7,8	7,72	0,188	0,10
Сумма
176,11	1602,097	134127,9	7,62558E+12	6,528	6,19

Коэффициенты b₁ и b линейного уравнения регрессии определяются по формулам (13), (13а):

, .

Подставив данные из таблицы получим следующие значения коэффициентов: b =2,423; b₁ = 0,00873 .

Для примера линейное уравнение регрессии имеет вид :

Y_теор = 2,423 + 0,00873·X .

Коэффициент b₁ характеризует наклон линии регрессии. b₁ = 0,00873 и это означает, что при увеличении Х на единицу ожидаемое значение Y возрастет на 0,00873. Отсюда b₁ может быть интерпретирован как прирост нормы рентабельности , который варьирует в зависимости от средней выручки. Свободный член уравнения b =2,423 у. е.; это значение Y при X, равном нулю. Поскольку маловероятно значение выработки , равное нулю, то можно интерпретировать b как меру влияния на величину рентабельности других факторов, не включенных в уравнение регрессии.

Регрессионная модель может быть использована для прогноза уровня рентабельности, (который будет на предприятии, например, где средняя выработка на одного работника составит 600 руб.)

Для того чтобы определить прогнозируемое значение, следует Х = 600 подставить в регрессионное уравнение:

Y = 2,423 + 0,00873 • 600 = 7,661.

Отсюда прогнозируемый уровень рентабельности для предприятия со средней выработкой 600 рублей на одного рабочего ППП составляет 7,661 %.

Коэффициент эластичности для модели Э = 0,00873

= 0,7249, т. е. при увеличении средней выработки на одного работника по отдельному предприятию 1% уровень рентабельности в среднем вырастет на 0,7%.

Изменение уровня рентабельности производственного предприятия, определяемое средней выработкой на одного работника можно определить также с помощью параболической зависимости. Для определения коэффициентов параболы используются формулы, полученные на основе решения системы уравнений (15).

Данные для расчета коэффициентов приведены в табл. 4

В результате расчетов получено уравнение параболы со следующими коэффициентами:

y = 4,7893+0,00156 x+5,1·10 –6 x 2 .

Для проверки адекватности моделей, построенных на основе линейного и параболического уравнения регрессии, проверим значимость каждого коэффициента, используя формулы (20-23).

Для коэффициента b линейной модели

Для коэффициент b₁ линейной модели

.

Для коэффициента b параболической модели

Для коэффициента b₁ параболической модели

Для коэффициента b₂ параболической модели

t_кр = 2,1 при α = 0,05; n=n-k-1=20-1-1=18

Из приведенных расчетов видно, что при α = 0,05 значимыми является коэффициенты линейного уравнения регрессии и параболического, за исключением коэффициента, стоящего перед квадратом факторного признака, что свидетельствует об отсутствии квадратичной зависимости между рассматриваемыми признаками моделируемого экономического процесса.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета
величины средней ошибки аппроксимации

.

Значение средней ошибки аппроксимации для линейной модели составляет

= 4,07 %

для параболической модели составляет

= 4,14 %

Полученные расчетные данные ε показывает очень малое расхождение между полученными линейной и параболической моделями. Таким образом можно утверждать, что связь между факторным и результативным признаками носит линейный характер и рассматриваемый экономический процесс можно аппроксимировать с помощью линейного уравнения регрессии.

|	следующая лекция ==>
На основе уравнения регрессии	|	Стандартная ошибка оценки уравнения регрессии

Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 377 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Уравнение регрессии, его смысл и назначение

Читайте также:

1. Биологический смысл агрессии
2. В отличие от гражданских прав и обязанностей в объективном смысле (т.е. когда речь идет об абстрактных предписаниях норм права, выраженных в различных нормативных правовых актах).
3. В субъективном смысле под наследственным правом принято понимать право лица быть призванным к наследованию, а также его правомочия после принятия наследства.
4. В узком смысле система гражданского законодательства
5. В широком смысле система гражданского законодательства
6. Вопрос 2. Инфляция и ее оценка. Уравнение Фишера
7. ВОПРОС 2. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОСТАТИКИ
8. ВОПРОС 2. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ПОТОКА.
9. Вязкость газов. Эмпирическое уравнение переноса Ньютона
10. Вязкость жидкости. Уравнение Ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости
11. Геометрический и физический смысл производной
12. Геометрический смысл дифференциала

Выбор типа математической функции при построении уравнения регрессии.

Уравнение регрессии, его смысл и назначение.

Основные задачи прикладного корреляционно-регрессионного анализа.

Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи. Не все факторы, влияющие на экономические процессы, являются случайными величинами, поэтому при анализе экономических явлений обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод математической статистики, их изучающий, называется регрессионным анализом.

Использование возможностей современной вычислительной техники, оснащенной пакетами программ машинной обработки статистической информации на ЭВМ, делает практически осуществимым оперативное решение задач изучения взаимосвязи показателей биржевых ставок методами корреляционно-регрессионного анализа.

При машинной обработке исходной информации на ЭВМ, оснащенных пакетами стандартных программ ведения анализов, вычисление параметров применяемых математических функций является быстро выполняемой счетной операцией.

Тема№2. Линейная модель множественной регрессии

При наличии корреляционной связи между факторными и результативными признаками врачам нередко приходится устанавливать, на какую величину может измениться значение одного признака при изменении другого на общепринятую или установленную самим исследователем единицу измерения.

Например, как изменится масса тела школьников 1-го класса (девочек или мальчиков), если рост их увеличится на 1 см. В этих целях применяется метод регрессионного анализа.

Наиболее часто метод регрессионного анализа применяется для разработки нормативных шкал и стандартов физического развития.

1. Определение регрессии. Регрессия — функция, позволяющая по средней величине одного признака определить среднюю величину другого признака, корреляционно связанного с первым.

С этой целью применяется коэффициент регрессии и целый ряд других параметров. Например, можно рассчитать число простудных заболеваний в среднем при определенных значениях среднемесячной температуры воздуха в осенне-зимний период.

2. Определение коэффициента регрессии. Коэффициент регрессии — абсолютная величина, на которую в среднем изменяется величина одного признака при изменении другого связанного с ним признака на установленную единицу измерения.

3. Формула коэффициента регрессии. R_у/х = r_ху x (σ_у / σ_x)
где R_у/х — коэффициент регрессии;
r_ху — коэффициент корреляции между признаками х и у;
(σ_у и σ_x) — среднеквадратические отклонения признаков x и у.

В нашем примере [r_ху = – 0,96 коэффициент корреляции между изменениями среднемесячной температуры в осенне-зимний период (х) и средним числом инфекционно-простудных заболеваний (у)];
σ_х = 4,6 (среднеквадратическое отклонение температуры воздуха в осенне-зимний период;
σ_у = 8,65 (среднеквадратическое отклонение числа инфекционно-простудных заболеваний).
Таким образом, R_у/х — коэффициент регрессии.
R_у/х = -0,96 х (4,6 / 8,65) = 1,8, т.е. при снижении среднемесячной температуры воздуха (x) на 1 градус среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) в осенне-зимний период будет изменяться на 1,8 случаев.

4. Уравнение регрессии. у = М_у + R_y/x (х – М_x)
где у — средняя величина признака, которую следует определять при изменении средней величины другого признака (х);
х — известная средняя величина другого признака;
R_y/x — коэффициент регрессии;
М_х, М_у — известные средние величины признаков x и у.

Например, среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) можно определить без специальных измерений при любом среднем значении среднемесячной температуры воздуха (х). Так, если х = – 9°, R_у/х = 1,8 заболеваний, М_х = -7°, М_у = 20 заболеваний, то у = 20 + 1,8 х (9-7) = 20 + 3,6 = 23,6 заболеваний.
Данное уравнение применяется в случае прямолинейной связи между двумя признаками (х и у).

5. Назначение уравнения регрессии. Уравнение регрессии используется для построения линии регрессии. Последняя позволяет без специальных измерений определить любую среднюю величину (у) одного признака, если меняется величина (х) другого признака. По этим данным строится график — линия регрессии, по которой можно определить среднее число простудных заболеваний при любом значении среднемесячной температуры в пределах между расчетными значениями числа простудных заболеваний.

6. Сигма регрессии (формула).

где σ_Rу/х — сигма (среднеквадратическое отклонение) регрессии;
σ_у— среднеквадратическое отклонение признака у;
r_ху — коэффициент корреляции между признаками х и у.

Так, если σ_у – среднеквадратическое отклонение числа простудных заболеваний = 8,65; r_ху — коэффициент корреляции между числом простудных заболеваний (у) и среднемесячной температурой воздуха в осенне-зимний период (х) равен — 0,96, то

7. Назначение сигмы регрессии. Дает характеристику меры разнообразия результативного признака (у).

Например, характеризует разнообразие числа простудных заболеваний при определенном значении среднемесячной температуры воздуха в осеннне-зимний период. Так, среднее число простудных заболеваний при температуре воздуха х₁ = -6° может колебаться в пределах от 15,78 заболеваний до 20,62 заболеваний.
При х₂ = -9° среднее число простудных заболеваний может колебаться в пределах от 21,18 заболеваний до 26,02 заболеваний и т.д.

Сигма регрессии используется при построении шкалы регрессии, которая отражает отклонение величин результативного признака от среднего его значения, отложенного на линии регрессии.

|	следующая лекция ==>
Понятие о функциональной, статистической и корреляционной связях	|	Последовательность расчетов и графического изображения шкалы регрессии

Дата добавления: 2014-01-03 ; Просмотров: 4855 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Уравнения линейной регрессии (стр. 1 из 3)

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Туле

по дисциплине «Эконометрика»

По предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.

Х	33	17	23	17	36	25	39	20	13	12
Y	43	27	32	29	45	35	47	32	22	24

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

1. Линейная модель имеет вид:

Параметры уравнения линейной регрессии найдем по формулам

Расчет значения параметров представлен в табл. 2.

1 43 33 1419 1089 42,236 0,764 0,584 90,25 88,36 0,018 2 27 17 459 289 27,692 -0,692 0,479 42,25 43,56 0,026 3 32 23 736 529 33,146 -1,146 1,313 0,25 2,56 0,036 4 29 17 493 289 27,692 1,308 1,711 42,25 21,16 0,045 5 45 36 1620 1296 44,963 0,037 0,001 156,25 129,96 0,001 6 35 25 875 625 34,964 0,036 0,001 2,25 1,96 0,001 7 47 39 1833 1521 47,69 -0,69 0,476 240,25 179,56 0,015 8 32 20 640 400 30,419 1,581 2,500 12,25 2,56 0,049 9 22 13 286 169 24,056 -2,056 4,227 110,25 134,56 0,093 10 24 12 288 144 23,147 0,853 0,728 132,25 92,16 0,036 ∑ 336 235 8649 6351 12,020 828,5 696,4 0,32 Средн. 33,6 23,5 864,9 635,1

Определим параметры линейной модели

Линейная модель имеет вид

2. Вычислим остатки

Расчеты представлены в табл. 2.

Рис. 1. График остатков ε.

3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.

0,584 2,120 0,479 0,206 1,313 6,022 1,711 1,615 0,001 0,000 0,001 0,527 0,476 5,157 2,500 13,228 4,227 2,462 0,728 31,337 12,020

d1=0,88; d2=1,32 для α=0,05, n=10, k=1.

значит, ряд остатков не коррелирован.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (α=0,05).

5. Найдем коэффициент корреляции по формуле

Расчеты произведем в табл. 2.

Коэффициент детерминации найдем по формуле

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Fтаб=5,32, т.к. k1=1, k2=8, α=0,05

т.к. F значительно больше Fтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95% статистически значимо.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Расчеты произведены в табл. 2.

значит, линейную модель можно считать точной, т.к. Е

Решения задач: линейная регрессия и коэффициент корреляции

Парная линейная регрессия – это зависимость между одной переменной и средним значением другой переменной. Чаще всего модель записывается как $y=ax+b+e$, где $x$ – факторная переменная, $y$ – результативная (зависимая), $e$ – случайная компонента (остаток, отклонение).

В учебных задачах по математической статистике обычно используется следующий алгоритм для нахождения уравнения регрессии.

1. Выбор модели (уравнения). Часто модель задана заранее (найти линейную регрессию) или для подбора используют графический метод: строят диаграмму рассеяния и анализируют ее форму.
2. Вычисление коэффициентов (параметров) уравнения регрессии. Часто для этого используют метод наименьших квадратов.
3. Проверка значимости коэффициента корреляции и параметров модели (также для них можно построить доверительные интервалы), оценка качества модели по критерию Фишера.
4. Анализ остатков, вычисление стандартной ошибки регрессии, прогноз по модели (опционально).

Ниже вы найдете решения для парной регрессии (по рядам данных или корреляционной таблице, с разными дополнительными заданиями) и пару задач на определение и исследование коэффициента корреляции.

Примеры решений онлайн: линейная регрессия

Простая выборка

Пример 1. Имеются данные средней выработки на одного рабочего Y (тыс. руб.) и товарооборота X (тыс. руб.) в 20 магазинах за квартал. На основе указанных данных требуется:
1) определить зависимость (коэффициент корреляции) средней выработки на одного рабочего от товарооборота,
2) составить уравнение прямой регрессии этой зависимости.

Пример 2. С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты Х и числа уволившихся за год рабочих Y:
X 100 150 200 250 300
Y 60 35 20 20 15
Найти линейную регрессию Y на X, выборочный коэффициент корреляции.

Пример 3. Найти выборочные числовые характеристики и выборочное уравнение линейной регрессии $y_x=ax+b$. Построить прямую регрессии и изобразить на плоскости точки $(x,y)$ из таблицы. Вычислить остаточную дисперсию. Проверить адекватность линейной регрессионной модели по коэффициенту детерминации.

Пример 4. Вычислить коэффициенты уравнения регрессии. Определить выборочный коэффициент корреляции между плотностью древесины маньчжурского ясеня и его прочностью.
Решая задачу необходимо построить поле корреляции, по виду поля определить вид зависимости, написать общий вид уравнения регрессии Y на Х, определить коэффициенты уравнения регрессии и вычислить коэффициенты корреляции между двумя заданными величинами.

Пример 5. Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей X и стоимостью ежемесячного технического обслуживания Y. Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей. Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

Корреляционная таблица

Пример 6. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по заданной корреляционной таблице

Пример 7. В таблице 2 приведены данные зависимости потребления Y (усл. ед.) от дохода X (усл. ед.) для некоторых домашних хозяйств.
1. В предположении, что между X и Y существует линейная зависимость, найдите точечные оценки коэффициентов линейной регрессии.
2. Найдите стандартное отклонение $s$ и коэффициент детерминации $R^2$.
3. В предположении нормальности случайной составляющей регрессионной модели проверьте гипотезу об отсутствии линейной зависимости между Y и X.
4. Каково ожидаемое потребление домашнего хозяйства с доходом $x_n=7$ усл. ед.? Найдите доверительный интервал для прогноза.
Дайте интерпретацию полученных результатов. Уровень значимости во всех случаях считать равным 0,05.

Пример 8. Распределение 100 новых видов тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем X (ден. ед.) и выручка от них Y (ден.ед.) приводится в таблице:
Необходимо:
1) Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии;
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:
А) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
Б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;
В) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю выручку от мобильных систем с 20 новыми видами тарифов.

Коэффициент корреляции

Пример 9. На основании 18 наблюдений установлено, что на 64% вес X кондитерских изделий зависит от их объема Y. Можно ли на уровне значимости 0,05 утверждать, что между X и Y существует зависимость?

Пример 10. Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (Х) и сбережениям (Y) дало результаты: $overline=82$ у.е., $S_x=31$ у.е., $overline=39$ у.е., $S_y=29$ у.е., $overline =3709$ (у.е.)2. При $alpha=0,05$ проверить наличие линейной связи между Х и Y. Определить размер сбережений семей, имеющих среднедушевой доход $Х=130$ у.е.