Расстояние между проекциями

Начертательная геометрия и инженерная графика Задачи контрольной работы

Метрическими называются задачи, решение которых связано с определением характеристик геометрических фигур, определяемых (измеряемых) линейными и угловыми величинами.

Три основные группы задач:

Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами:

– расстояние между двумя точками;

– расстояние от точки до прямой общего положения;

– расстояние между параллельными прямыми;

– расстояние между параллельными плоскостями;

– расстояние между скрещивающимися прямыми (кратчайшее);

– расстояние от точки до плоскости;

– расстояние от точки до поверхности.

2. Задачи на определение углов между плоскими геометрическими фигурами:

– угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми;

– угол между прямой и плоскостью;

– угол между двумя плоскостями.

3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур:

– действительная величина плоской фигуры.

4. Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам.

8.2. Теоретические основы для решения метрических задач

Используется инвариантное свойство ортогонального проецирования:

любая геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру.

Для решения задач используют:

– способы преобразования комплексного чертежа;

– положения по теме «Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости».

Общая схема решения задач:

– одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе геометрические фигуры или одну из них в частное положение ( ^ или çç одной из плоскостей проекций: П1 – П3);

– или построить проекцию искомой фигуры на одну из выбранных плоскостей;

– или решить в плоскости частного положения заданную метрическую задачу, перенеся затем решение задачи на исходные проекции обратным преобразованием;

– при выборе способа преобразования комплексного чертежа следует ориентироваться на простоту графических операций.

8.3. Задачи на определение расстояний между
геометрическими фигурами

Расстояние между двумя точками равно длине отрезка прямой линии, соединяющей эти точки. Эта задача решается или способом прямоугольного треугольника или построением дополнительного изображения отрезка на новой плоскости проекций, параллельной этому отрезку.

Расстояние от точки до прямой линии равно длине перпендикуляра,. опущенного из точки на эту прямую. Чтобы опустить перпендикуляр из точки на прямую, в общем случае через эту точку проводят плоскость, перпендикулярную к этой прямой или отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Для этого нужно преобразовать чертеж данной прямой. Сделав ее в новой системе плоскостей проецирующей.

Рассмотрим пример: Задача 1. определить расстояние от точки М до отрезка прямой АВ, (рис. 84).

1. Расстояние от точки М до отрезка АВ изображается длиной перпендикуляра МК, проведенного из точки М.

2. На плоскости П5 отрезок МК(М5К5) спроецируется в натуральную величину, т.к. он является горизонталью в системе плоскостей П4/ П5.

Рис. 84 – Комплексный 1. Преобразуем отрезок АВ в горизонтально
чертеж проецирующий, заменой плоскостей проекций.

2. Построим проекцию А5В5 отрезка АВ на плоскость П5 ^ АВ, а отрезок М5К5 – искомое расстояние.

1. Проводим ось проекций Х12.

2. Новая ось проекций Х14 çç А1В1.

3. Строим проекцию прямой АВ(А4В4) и точки М(М4) на П4.

4. Новая ось проекций Х45 ^ (А4В4).

5. Строим проекции АВ(А5В5) и точки М(М5) на П5.

6. М5К5 = ï МК ç – искомое расстояние.

7. Строим М4К4 ^ (А4В4) , т.к. М4К4 – фронтальная проекция горизонтали.

8. Строим проекцию отрезка MК(М1К1) на П1 по принадлежности К Î АВ.

9. Строим проекцию отрезка MК(М2К2) на П2 по принадлежности К Î АВ.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую.

Таким образом, задача сводится к определению расстояния между точкой и прямой линией или может быть решена способом замены плоскостей проекций, преобразовав эти прямые в проецирующие.

На рис. 85 определено расстояние между параллельными прямыми а и b путем преобразования чертежа прямых в проецирующие способом замены плоскостей проекций.

Задача 2. Определить расстояние между параллельными прямыми а и b.

1. Расстояние меду прямыми a и b определяется отрезком перпендикуляра между ними М5К5 на плоскости П5.

2. На плоскости П5 отрезок МК(М5К5) проецируется в натуральную величину, т.к. он является горизонталью в системе плоскостей П4/П5.

Рис. 85 – Комплексный

1. Преобразуем прямые а и b в проецирующие в системе плоскостей П4/ П5.

2. Отрезок М5К5 = ï МК ç – искомое расстояние.

1. Проводим ось проекций Х12.

2. Новая ось проекций Х14 çç а1 и b1.

3. Строим проекции прямых а4 и b4 на П4.

4. Новая ось проекций Х45 ^ а4 и b4.

5. Строим проекции а5 и b5 на П5.

6. М5К5 = ï МК ç – искомое расстояние.

7. Строим М4К4 ^ (а4 и b4) , т.к. М4К4 – фронтальная проекция горизонтали.

8. Строим проекцию отрезка MК(М1К1) на П1; К Î b, M Î a.

9. Строим проекцию отрезка MК(М2К2) на П2; К Î b, M Î a.

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Рис. 86 – Комплексный чертеж

Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т.е. преобразовать комплексный чертеж, например, способом замены плоскостей проекций, (рис. 86).

Задача 3. Определить расстояние от точки М до плоскости треугольника АВС, (рис. 86).

1. Расстояние от точки М до плоскости D АВС изображается длиной перпендикуляра МК, проведенного из точки М на плоскость.

2. . На плоскости П4 отрезок МК(М4К4) проецируется в натуральную величину, т.к. он является фронталью в системе плоскостей П4/П5.

Преобразуем плоскость D АВС в проецирующую в системе плоскостей П1/П4.

Отрезок М4К4 = ï МК ç – искомое расстояние.

1. Проводим ось проекций Х12.

2. Новая ось проекций Х14 ^ h1.

3. Строим проекции плоскости D АВС ( D А4В4С4) и точки М(М4) на П4.

4. М4К4 ^ ( D А4В4С4) = ï МК ç – искомое расстояние.

5. Строим М1К1 çç Х14, т.к. М4К4 – фронтальная проекция фронтали.

6. Точку К2 строим с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П4.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется длиной перпендикуляра. опущенного из любой точки одной плоскости на другую.

Таким образом, задача сводится к определению расстояния от точки до плоскости и может быть решена теми же способами.

Задача 1. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.

Рис. 87 – Пространственная модель

Расстояние между скрещивающимися прямыми a и b определяется длиной отрезка MN одновременно перпендикулярного к обоим прямым, (рис. 87).

На плоскость, перпендикулярную к одной из прямых, отрезок MN проецируется в истинную величину.

1. Преобразовать прямую a или b в проецирующую, например, способом замены плоскостей проекций.

2. Построить проекцию M5N5 отрезка MN на плоскость П5 ^ a. M5N5 – искомое расстояние.

Рис. 88 – Комплексный чертеж

Построение, (рис. 88):

1. Проводим ось проекций Х12.

2. Новая ось проекций Х14 çç a1.

3. Строим проекцию прямой a на П4.

4. Строим проекцию прямой b на П4.

5. Новая ось проекций Х45 ^ a4.

6. Строим проекцию прямой b на П5.

7. Строим проекцию прямой a на П5.

8. M5N5 = ç MN ç – искомый отрезок, т.к. в системе плоскостей П4/ П5 MN – линия уровня, поэтому M5N5 Ç b5 = 90 ° .

9. Строим проекцию отрезка MN на П4,

т.к. в системе плоскостей П4/ П5 MN – линия уровня, поэтому M4N4 çç Х45.

10. Строим проекцию отрезка MN на П1 .

11. Строим проекцию отрезка MN на П2

Задача 2. Определить расстояние от точки А до поверхности конуса Ф, (рис. 89).

Рис. 89 – Пространственная
модель

1. Расстояние от точки А до поверхности вращения Ф, (независимо от ее вида), определяется длиной перпендикуляра АВ, опущенного из точки А на ближайшую к ней образующую (меридиан) поверхности d.

2. Образующая d принадлежит плоскости Г, проходящей через данную точку А и ось вращения i поверхности Ф.

1. Через точку А и ось i проводим плоскость Г.

2. Находим образующую d (d = Г Ç Ф).

3. Преобразуем образ d в прямую уровня способом замены плоскостей проекций.

4. В новой системе плоскостей из точки А опускаем перпендикуляр АВ на образ d.

Рис. 90 – Комплексный чертеж

Построение, (рис. 90):

1. Плоскость Г(А, i); Г ^ П1 .

2. Образующая d(1 – S)= Г Ç Ф.

3. Проводим ось Х12.

4. Новая ось проекций Х14 çç Г1.

5. Строим проекцию образующей d на П4, в системе плоскостей П1/ П4 d(d4) – линия уровня (фронталь).

6. А4В4 ^ d4, в системе плоскостей П1/ П4, А4В4 = ç АВ ç – искомый отрезок.

7. Строим проекцию отрезка АВ на П1 .

8. Строим проекцию отрезка АВ на П2.

8.4. Задачи на определение действительных величин углов
между геометрическими фигурами

Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется без искажения на плоскости, параллельной плоскости угла.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми линиями измеряется углом между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим примеры: Задача 1. Определить угол a между прямой d и плоскостью D (m çç n).

Рис. 91 – Пространственная модель

Угол наклона прямой d к плоскости D измеряется величиной линейного угла a между прямой d и ее прямоугольной проекцией d ¢ на данную плоскость D , (рис. 91).

1. Из произвольной точки А Î d опускаем перпендикуляр t на плоскость D .

2. Определяем точку N встречи перпендикуляра t с плоскостью D .

3. Определяем точку К пересечения прямой d с плоскостью D .

4. Строим прямоугольную проекцию d ¢ (КN) прямой d(АК) на плоскость D .

5. Угол AKN – искомый.

Решение задачи значительно упрощается, если вместо угла a определять дополнительный до 90º угол b . В этом случае не требуется находить точку N и проекцию прямой d ¢ . Зная величину угла b , вычисляем угол a : a =90 ° – b .

Рис. 92 – Комплексный чертеж

Построение, (рис. 92):

1. h Î D ( m çç n), f Î D ( m çç n).

2. Выбираем произвольную точку А Î d.

5. Строим отрезок ВС = f ¢¢ Î S .

6. Ð ВАС = d ^t= b Î S .

7. Определяем величину угла b способом вращения его вокруг f ¢ до положения çç П2.

8. Ð В2А ¢ С2 = ç b ç .

9. Искомый Ð a = 90 ° – b .

Задача 2. Определить величину угла между плоскостями Г(а çç b) и D (c Ç d), (рис. 93).

1. Угол между плоскостями Г и D измеряется одним из линейных углов, обычно острым, полученным при пересечении этих плоскостей третьей ( S ), перпендикулярной к ним.

2. В общем случае удобно определять угол b , заключенный между перпендикулярами опущенными из произвольной точки N на заданные плоскости Г и D .

3. Найденный угол b является искомым, если он

Рис.93 – Пространственная острый; если угол b – тупой, то искомый угол

модель a = 180º – b .

Из точки N проводим прямые n ^ Г и m ^ D .

Определяем величину угла b , преобразовав плоскость S (m Ç n) способом вращения в плоскость уровня.

Рис. 94 – Комплексный чертеж

Построение, (рис. 94):

1. h Ù f Î Г(a çç b/

2. h ¢ Ù f ¢ Î D (c Ç d)/

3. Берем произвольную точку N.

7. Отрезок AB = f ¢¢ Î S .

8. Ð ANB = n ^ m = b Î S .

9. Способом вращения вокруг f ¢¢ преобразуем плоскость S ( D ANB) в плоскость уровня S ¢ çç П2.

10. Треугольник A2N ¢ B2 = ç ANB ç Þ Ð A2N ¢ B2 – искомый.

Задача 3. Определить величину двугранного угла между плоскостями Г и D , (рис. 95).

Угол между плоскостями Г и D измеряется линейным углом, обычно острым, полученным при пересечении этих плоскостей третьей плоскостью ( S ), перпендикулярной к ним.

Т.к. линия пересечения плоскостей Г и D известна – ребро MN, то решение задачи упрощается – угол спроецируется в конгруэнтный ему на плоскость, перпендикулярную ребру MN.

Рис. 95 – Пространственная модель

Преобразуем ребро MN способом замены плоскостей проекций в прямую уровня M4N4.

Преобразуем ребро M4N4 способом замены плоскостей проекций в проецирующую прямую M5N5.

Построение, (рис. 96):

Проводим ось проекций Х12.

Проводим ось проекций Х14 çç M1N1 .

Строим проекцию ребра MN на П4, в системе плоскостей П1/ П4

MN(M4N4 ) – линия уровня.

Строим проекцию плоскости Г(Г4) на П4.

Строим проекцию плоскости D ( D 4) на П4.

Проводим ось проекций Х45 ^ M4N4 .

Строим проекцию ребра MN на П5, в системе плоскостей П4/ П5 MN(M5N5 ) – проецирующая прямая.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Разделы: Математика

Цели и задачи:

• образовательная – формирование и развитие у учащихся пространственных представлений; выработка навыков решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми
• воспитательная – воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми; воспитывать любовь и интерес к изучению математики.
• развивающая – развитие у учащихся логического мышления, пространственных представлений, развитие навыков самоконтроля.

Проект соответствует следующим пунктам тематического учебного плана школьного предмета.

1. Скрещивающиеся прямые.
2. Признак параллельности прямой и плоскости
3. Ортогональная проекция в пространстве.
4. Объем многогранников.

Вступление.

Скрещивающиеся прямые — это удивительно!

Если бы их не было, жизнь была бы во сто крат менее интересной. Так и хочется сказать, что если и стереометрию стоит изучать, то из-за того, что в ней есть скрещивающиеся прямые. Сколько у них глобальных, интереснейших свойств: в архитектуре, в строительстве, в медицине, в природе.

Так хочется, чтобы наше удивление перед уникальностью скрещивающихся прямых передалось и вам. Но как это сделать?

Может быть ответом на этот вопрос будет наш проект?

Известно, что длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых равна расстоянию между этими прямыми.

Теорема: Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Следующая теорема дает один из способов нахождения расстояния и угла между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость.

Основополагающий вопрос:

А можно найти расстояние между скрещивающимися прямыми без построения их общего перпендикуляра?

Рассмотрим задачу с кубом.

Почему с кубом? Да потому что в кубе скрыта вся геометрия, в том числе и геометрия скрещивающихся прямых.

Задача.

Ребро куба равно a. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба.

Применим различные методы исследования к данной задаче.

• по определению;
• методом проекций;
• методом объемов;
• методом координат.

Исследования.

Класс делится на группы по методу исследования задачи. Перед каждой группой стоит задача – показать и доказать применение данного метода для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. Завершающим этапом исследования задачи являются защита проектов в виде презентаций, публикаций или сайтов. Ребята и учитель имеют возможность оценить проект каждой группы по критериям, разработанных для публикаций, презентаций.

Метод объемов.

• построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми;
• доказать, что эта высота и есть искомое расстояние;
• найти объём этой пирамиды двумя;
• способами и выразить эту высоту;

Этот метод очень интересен своей нестандартностью, красотой и индивидуальностью. Метод объёмов способствует развитию пространственного воображения и умению мысленно создавать представления о форме фигур.

В результате дополнительных построений мы получили пирамиду DAB₁C.

В пирамиде DAB₁C, высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB₁C будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми АС и DC₁.

Рассмотрим пирамиду

Вывод: Рассмотрим эту же пирамиду, но уже с вершиной в точке D:

Учитывая, что V1 = V2 , получим d=

Метод проекций.

1. Выбираем плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых.
2. Проецируем каждую прямую на эту плоскость.
3. Расстояние между проекциями будет расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно определить как расстояние между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость проекций.

Использование определения скрещивающихся прямых.

Дополнительные построения: А1В, ВD, AK.

А₁О ВD, ОС BD

BD пересекающимся прямым А₁О и ОС

ВD (A₁OC), BD Є (A₁BD)

(A₁OC)

(A₁BD), А₁О – линия пересечения плоскостей.

СК (A₁BD), т. е. A₁DЄ (A₁BD и A₁BЄ (A₁BD)

CK A₁D, CK A₁B

CD₁

A1B т. е СК – искомое расстояние.

Метод координат.

В нашей задаче диагональ AB₁ грани AA₁B₁B

DC₁, поэтому DC₁(AB₁C). Определим расстояние от точки D до плоскости AB₁C. Введем прямоугольную систему координат.

Заключение.

А сколько в геометрии скрыто очаровательных задач?! Всякий геометр понимает, что стереометрия без скрещивающихся прямых — это глупость. Да что там. Без скрещивающихся ребер нет и многогранника. А геометрия без многогранников – что это за геометрия?

В помощь учителю.

1. Презентация “Метод объемов и проекций” (Приложение 1).
2. Буклет о скрещивающихся прямых. (Приложение 2).
3. Тест “Скрещивающиеся прямые” (Приложение 3).

Расстояние между проекциями

1. Линии, применяемые в черчении

В черчении применяют три основных типа линий (сплошные, штриховые и штрихпунктирные) различной толщины (рис. 76).

На рисунке 75 толщина каждой линии в милиметрах указана цифрами.

Рассмотрим более подробно каждый из типов линий и их основное применение.

1. Сплошная контурная линия считается основной линией чертежа. Ее толщина выбирается в зависимости от размеров чертежа, его сложности и назначения. Толщина контурной линии обозначается буквой b и может принимать значения от 0,4 до 1,5 мм (рис. 77).

Толщина других линий чертежа определяется толщиной линии видимого контура. На одном и том же чертеже все одноименные линии должны быть одной и той же толщины.

2. Штриховую линию невидимого контура применяют для проведения очертаний внутренних плоскостей и линий, скрытых от наблюдателя, а также для изображения резьбы и окружности впадин зубчатых колес (рис. 78).

Линия невидимого контура по толщине должна быть в два-три раза меньше толщины линии видимого контура. Длина штрихов – в четыре раза больше расстояния между штрихами. Чаще всего длина штрихов равна 4–6 мм, а расстояние между штрихами 1,1–1,5 мм. Обычно длина штрихов уменьшается с толщиной линий. На мелких чертежах длина штриха может быть уменьшена до 2 мм.

3. Линии излома, обрыва или выреза разделяются на три основных вида (рис. 79):

1) волнистая линия обрыва является линией той же толщины, что и линия невидимого контура. Ее проводят от руки;

2) штрихпунктирная линия обладает той же толщиной, что и волнистая. Длина штрихов примерно 10,1-12 мм, а расстояние между штрихами – 3 мм. На небольших чертежах длина штрихов может быть меньше;

3) линию излома можно проводить также в виде тонкой линии с прямолинейными зигзагами. Такие линии применяют при построении длинных линий излома.

4. Тонкая сплошная линия. Ее толщина в четыре раза меньше толщины линии контура, и она применяется часто. Ею выполняют выносные и размерные линии, проводят штриховку и всевозможные вспомогательные линии, необходимые в процессе какого-нибудь построения или поясняющие его (рис. 80).

5. Осевые и центровые линии (рис. 81). Они являются тонкими штрихпунктирными линиями со сравнительно длинными штрихами. Длина штрихов примерно 20–25 мм. Расстояние между штрихами примерно 3 мм. На малых чертежах длина штрихов может быть меньше. Такая штрихпунктирная линия применяется для проведения и начальной окружности, и образующих начального цилиндра и начального конуса, и у зубчатых колес.

6. Штрихпунктирную линию с двумя точками (рис. 82) применяют для очертаний габарита, контуров механизма в его крайнем или промежуточном положении и контура пограничной детали, имеющей вспомогательное значение. Эти линии имеют такую же толщину и длину штрихов, как и обычные штрихпунктирные линии, применяемые в качестве осевых и центровых.

7. Линию контура наложенной проекции применяют для изображения частей, отпадающих при разрезах или находящихся перед вычерчиваемой деталью, а также для вариантов выполнения детали и для вычерчивания контура заготовки, нанесенного на чертеж детали. Длина штрихов в зависимости от величины проекции должна быть 4–8 мм.

8. Линию рамки чертежа, контура штампа, графления таблицы и т. д. проводят сплошной линией. Она может быть тоньше линии контура. При выборе толщины таких линий необходимо стремиться к тому, чтобы чертеж имел красиво оформленный вид (рис. 83).

Рассмотрим линии для указания плоской поверхности. Когда поверхности вращения чередуются с плоскими гранями (рис. 84), следует оттенить наличие этих плоских граней. Для этого на их проекциях наносятся тонкие диагонали каждой плоской грани, что является условным обозначением на чертеже плоской поверхности.

Для обводки различных линий (осевых, центровых, размерных, выносных, разреза, сечения, контура пограничной детали, контура наложенного сечения, контуров механизмов в их крайних или промежуточных положениях и очертания габарита, для осей проекций, следов плоскостей и линий построения характерных точек) возможны, помимо черного, также другие цвета.

2. Расположение видов (проекций)

В черчении применяются шесть видов, которые изображены на рисунке 85. На рисунке показаны проекции буквы «Л».

Три проекции, изученные в начертательной геометрии, образуют следующие три вида: фронтальную проекцию, которая представляет собой главный вид, или вид спереди; горизонтальную проекцию, которая представляет собой вид сверху (план); профильную проекцию, которая представляет собой вид слева изображаемого предмета.

Виды располагают на чертеже так, как показано на рисунке 85, т. е.:

1) вид сверху располагается обычно под главным видом;

2) вид слева – справа от главного вида;

3) вид справа – слева от главного вида;

4) вид снизу – над главным видом;

5) вид сзади – правее вида слева.

Все рассмотренные проекции предмета обычно получаются с помощью данных двух ее видов. На рисунке 86 показано построение по данным двум проекциям треугольной пирамиды еще трех ее проекций (всех, кроме вида сзади).

На рисунке 86 показаны вспомогательные линии построения. Построение необходимых проекций похоже на построение профильной проекции по данным горизонтальной и фронтальной проекциям предмета.

При изображении предметов, которые проецируются в форме симметричной фигуры, можно вычерчивать вместо целого вида несколько более его половины. При этом проекцию с незаконченной стороны ограничивают волнистой линией, которая в два-три раза тоньше контурной.

3. Отступление от приведенных правил расположения видов

В некоторых случаях допускаются отступления от правил построения проекций. Среди этих случаев можно выделить следующие: частичные виды и виды, расположенные без проекционной связи с другими видами.

Рассмотрим эти случаи.

Частичные проекции. На рисунке 87 показано колено трубы с тремя фланцами.

Главный вид не полностью определяет ее форму. Добавлены две частичные проекции. Одна из них имеет вид фланца, если смотреть на него снизу. В рассматриваемом случае вид снизу расположен под главным видом с той целью, чтобы обе проекции фланца были ближе друг к другу. Вторая частичная проекция (слева от главного вида) показывает форму наклонно расположенного фланца, если смотреть на него перпендикулярно его плоскости.

В этом случае нецелесообразно полностью изображать вид сверху или снизу, так как при этом форма наклонно расположенного фланца была бы изображена искаженно, что только усложнило бы чертеж, не показывая его сути.

Нарушение проекционной связи. Если один из видов приходится располагать вне непосредственной проекционной связи с главным видом или если он отделен от главного вида другими изображениями, то нужно или указать название этого вида, или сделать специальные указания стрелкой и надписью, например «Вид по стрелке А» (рис. 87). Если вид располагается на отдельном листе, то необходимо надписать его название.

4. Число проекций, определяющих данное тело

Положение тел в пространстве, форма и размеры определяются обычно небольшим числом соответствующим образом подобранных точек.

Если при изображении проекции какого-то тела обращать внимание не на отдельные его точки, а на построение только контурных линий, то возможны некоторые затруднения и неясности.

Это видно из примера.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед. Его грани расположены параллельно плоскостям проекций (рис. 88).

В этом случае на каждую из плоскостей будет проецироваться по одной грани в натуральную величину. Данное положение тела относительно плоскостей проекций облегчает его изготовление по чертежу.

Если проставить буквы в вершинах параллелепипеда, то две проекции уже будут его определять (рис. 89).

Если не проставлять буквы в вершинах параллелепипеда, то только три проекции определят его форму (рис. 89). Чтобы убедиться в этом, начертим две из этих проекций (фронтальную и профильную) (рис. 90) и попытаемся построить третью – горизонтальную.

Анализируя эти две проекции, можно представить себе не одну, а несколько различных проекций горизонтальной грани. Поэтому, кроме исходного прямоугольного параллелепипеда, еще несколько тел будет иметь данные две проекции и отличаться только третьими.

Расположение проекций

На теоретическом чертеже на трех основных координатных плоскостях геометрическую форму корпуса судна изображают линиями пересечения теоретической поверхности плоскостями, параллельными координатным: диаметральной, основной и плоскостью мидель-шпангоута.

На теоретическом чертеже судна проекции имеют следующие наименования:

— проекции батоксов, шпангоутов и ватерлиний на вертикальную продольную плоскость называются проекцией «Бок»;

— проекции шпангоутов, батоксов и ватерлиний на вертикальную поперечную плоскость называются проекцией «Корпус»;

— проекции ватерлиний, батоксов и шпангоутов на горизонтальную плоскость называются проекцией «Полуширота».

В качестве главного вида принимают проекцию «Бок» и располагают ее в верхней части теоретического чертежа. Под главным видом в проекционном соответствии изображают горизонтальную проекцию — «Полушироту» (вид сверху). Справа от главного вида на одном уровне с ним располагается проекция «Корпус».

На рис. 2.1 и рис. 2.2 показано рекомендуемое расположение проекций теоретического чертежа.

При наличии в корпусе судна цилиндрической вставки (части корпуса, имеющей в поперечном сечении одинаковые очертания) допускается проекцию «Корпус» располагать в разрыве средней части проекции «Бок» (рис. 2.2, а).

С целью уменьшения размеров чертежа по высоте иногда допускается совмещать проекции «Бок» (гл. вид) и «Полуширота» (вид сверху), но при этом чертеж становится менее удобным для чтения (рис. 2.2, б).

В зависимости от особенностей обводов для некоторых типов судов допускается вид сверху (проекция «Полуширота») изображать раздельно для отдельных районов, разбитых по высоте судна.

На виде сверху ватерлинии изображают только на левом борту, имея в виду, что обводы правого борта симметричны обводам левого.

На проекции «Корпус» справа от ДП изображают шпангоуты от носа до миделя, а слева от ДП — от миделя до кормы.

ГОСТом 2.419-68 рекомендованы следующие масштабы теоретического чертежа: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:25, 1:50, 1:100. 1:200.

2.2. Построение сетки теоретического чертежа

Теоретические обводы судна изображают на сетке теоретического чертежа (рис. 2.3). Сетка теоретического чертежа представляет собой пересечение под прямым углом на всех трех проекциях прямых линий — проекций батоксов ватерлиний и шпангоутов. На проекции «Бок» сетка теоретического чертежа образована взаимно перпендикулярными прямыми — проекциями ватерлиний и шпангоутов.

При этом базовыми линиями сетки являются основная линия, проекция конструктивной ватерлинии, носовой и кормовой перпендикуляры.

На проекции «Полуширота» сетка образуется проекциями батоксов и шпангоутов. При этом базовыми линиями сетки являются проекция ДП, проекции плоскостей носового и кормового перпендикуляров и линия, параллельная проекции ДП и отстоящая от нее на расстоянии, равном полуширине судна.

На проекции «Корпус» сетка образуется проекциями ватерлиний и батоксов. При этом базовыми линиями сетки являются основная линия (проекция основной плоскости), конструктивная ватерлиния, проекция ДП и бортовые перпендикуляры, проведенные на расстоянии полуширины судна от проекции ДП.

Вычерчивание сетки теоретического чертежа выполняют в следующем порядке:

1. Согласно выбранному масштабу по главным размерениям судна размечают места расположения проекций так, чтобы проекция «Полуширота» находилась точно под проекцией «Бок», а проекция «Корпус» — точно на уровне проекции «Бок». Расстояние между проекциями «Бок», и «Корпус» должно быть достаточным для вычерчивания носовой оконечности судна. С левой стороны от сетки предусматривается место для вычерчивания кормовой оконечности судна.

2. Под линейку, выверенную на прямолинейность, проводят основную линию на проекциях «Бок» и «Корпус» и проекцию ДП — на проекции «Полуширота».

3. На проведенных линиях на проекциях «Бок» и «Полуширота» откладывают длину судна между перпендикулярами L_ПП, а на проекции «Корпус» — ширину судна В.

4. На проекциях «Бок» и «Полуширота» длину судна с максимальной точностью делят на 20 или 10, в зависимости от условия задания, равных частей. На проекции «Корпус» ширину судна делят на заданное число промежутков между батоксами. В точках деления методом засечек восстанавливают перпендикуляры.

5. На построенных перпендикулярах откладывают: на проекциях «Бок» и «Корпус» — высоту борта Н, осадку судна Т и расстояние между ватерлиниями DТ, а на проекции «Полуширота» — половину ширины судна и расстояния между батоксами. Одноименные точки соединяют прямыми.

По мере проведения прямых образуются прямоугольники. Для контроля правильности построений проверяют равенство диагоналей всех равновеликих прямоугольников. Видимого расхождения в диагоналях быть не должно (рис. 2.3).

Точность построения сетки предопределяет точность выполнения теоретического чертежа. Если она построена с погрешностью, то невозможно провести согласование проекций теоретического чертежа, поэтому продольные линии сетки вычерчиваются с помощью специальной металлической линейки, твердым карандашом или тушью.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9240 –

| 7357 – или читать все.

Метрические задачи

Метрические задачи можно разделить на три группы.

1 группа задач: определение расстояний от точки до другой точки, прямой, плоскости или поверхности; от прямой до другой прямой или плоскости; от плоскости до плоскости.

2 группа задач: определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми; между прямой и плоскостью; между плоскостями (двугранные углы).

3 группа задач: определение величины плоской фигуры или части поверхности (развертка, сечение).

Эти задачи решаются значительно проще, если геометрические элементы занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Поэтому при решении метрических задач используются способы преобразования комплексного чертежа.

Рассмотрим решения метрических задач.

Задача 1. Расстояние от точки до точки (длина отрезка).

Рассмотрим три способа построения натуральной величины отрезка для решения метрических задач 1 группы.

а) С помощью построения прямоугольного треугольника:

ÐA1B1B′1 = 90° |B1B′1| = |B2 B12| – |A2A12| |АВ| = |А1В′1|

б) Вращением отрезка вокруг проецирующей прямой:

i Î A i ^ П1 – ось вращения А1В1 =R – радиус вращения т.В А′1В′ 1|| x12 |АВ|=|А2В′2|

в) Заменой плоскостей проекций:

|АВ| = |А4В4|

Задача 2. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра виден в натуральную величину в том случае, если он проведен к проецирующей прямой.

1) П2 Þ П4|| AB Þ x14 || A1B1 2) П1 Þ П5 ^ AB Þ x45 ^ A4B4 3) |К55| = |К0| – искомое расстояние (К44|| x45 , т.к. в этой системе проекций найденное расстояние является прямой уровня или горизонталью)

Задача 3. Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Отрезок этого перпендикуляра виден в натуральную величину, если плоскость занимает проецирующее положение, т.е. вырождается в прямую.

1) h Î å(ABC) 2) П2 Þ П4^h ; x14^h1 3) |К44|=|К0| – искомое расстояние (К11 || x14 ; 212 =414)

Задача 4. Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними. Этот отрезок виден в натуральную величину, если прямые проецирующие, т.е. вырождаются в точку.

1) П2 Þ П4 || a ; b или x14 || a1 ; b1 2) П1 Þ П5 ^a ; b или x45 ^a4; b4 3) |К55 |= |К0| – искомое расстояние (К44|| x45 ; К4 – произвольное положение на прямой а)

Задача 5. Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется отрезком перпендикуляра, когда одна из прямых занимает проецирующее положение, т.е. вырождается в точку (a₅ на рис.5.7)

а и b – скрещивающиеся прямые общего положения 1) П2 Þ П4 || a или x14 || a1 2) П1 Þ П5^a или x45 ^a4 3) |К55 | = |К0| – искомое расстояние К55 ^b5 К44|| x45

Задача 6. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Эти отрезки перпендикуляров видны в натуральную величину, когда плоскость занимает проецирующее положение, т.е. вырождается в прямую. Взять на заданной прямой любую точку и решение задачи сводится к определению расстояния от точки до плоскости.

Для определения параллельности прямой и плоскости на комплексном чертеже используется признак параллельности: прямая параллельна плоскости, если в плоскости есть прямая, параллельная данной.

Задача 7. Расстояние между параллельными плоскостямиизмеряется отрезком перпендикуляра между ними. Этот отрезок виден в натуральную величину, если плоскости занимают проецирующее положение, т.е. вырождаются в прямые (т.е. в свои следы).

Для определения параллельности двух плоскостей на комплексном чертеже используется известный признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Расстояние между параллельными плоскостями общего положения определяется заменой плоскостей проекций (решением 3 задачи способа): пл. П₂ заменяется на пл. П₄ перпендикулярную параллельным плоскостям. Новая ось чертежа располагается перпендикулярно горизонтальным проекциям горизонталей заданных плоскостей. Искомое расстояние определяется отрезком между следами плоскостей на новой плоскости проекций.

Задача 8. Истинная величина плоских углов определяется методом замены плоскостей проекций, для чего плоскость угла преобразуется в плоскость уровня. Последовательно решаются 3 и 4 основные задачи замены плоскостей проекций.

Задача 9. Величина угла между скрещивающимися прямыми определяется, как угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным прямым.

Задача 10. Величина двугранного угла определяется, как угол между двумя проецирующими плоскостями, когда линия пересечения плоскостей – ребро двугранного угла занимает проецирующее положение, т.е. вырождается в точку (рис.5.8а).

а)	б)

Если ребро не задано, то определяется угол между перпендикулярами, проведенными к данным плоскостям из произвольной точки пространства. В плоскости этих перпендикуляров получаем два угла, которые соответственно равны линейным углам двух смежных двугранных углов (рис.5.8б).

Задача 11. Величина плоской фигуры определяется методом замены плоскостей проекций последовательным решением 3 и 4 основных задач, когда плоскость преобразуется первоначально в проецирующую относительно плоскостей проекций, а затем в плоскость уровня.

Вопросы для самоконтроля:

1) Опишите все группы метрических задач.

2) Опишите алгоритм преобразования чертежа для нахождения кратчайшего расстояния между скрещивающимися прямыми общего положения.

3) Опишите алгоритм преобразования чертежа для нахождения (измерения) углов треугольника, занимающего общее положение.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском: