Проекция ускорения закон

Сила реакции опоры (сила, направленная вверх) длиннее силы тяжести, так как шарик движется по окружности, центростремительное ускорение направлено вверх

Сила реакции опоры (сила, направленная вверх) короче силы тяжести, так как шарик движется по окружности, центростремительное ускорение направлено вниз. Вектор силы тяжести, направленный вниз, длиннее.

Нахождение равнодействующей силы

Для того, чтобы найти равнодействующую силу, необходимо: во-первых, верно обозначить все силы, действующие на тело; затем изобразить координатные оси, выбрать их направления; на третьем шаге необходимо определить проекции векторов на оси; записать уравнения. Кратко: 1) обозначить силы; 2) выбрать оси, их направления; 3) найти проекции сил на оси; 4) записать уравнения.

Как записать уравнения? Если в некотором направлении тело двигается равномерно или покоится, то алгебраическая сумма (с учетом знаков) проекций сил равна нулю. Если в некотором направлении тело движется равноускоренно, то алгебраическая сумма проекций сил равна произведению массы на ускорение, согласно второму закону Ньютона.

На движущееся равномерно по горизонтальной поверхности тело, действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила, под действием которой тело движется.

Обозначим силы, выберем координатные оси

Тело, которое прижимают к вертикальной стенке, равноускоренно движется вниз. На тело действуют сила тяжести, сила трения, реакция опоры и сила, с которой прижимают тело. Вектор ускорения направлен вертикально вниз. Равнодействующая сила направлена вертикально вниз.

Тело равноускоренно движется по клину, наклон которого альфа. На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения.

Главное запомнить

1) Если тело покоится или движется равномерно, то равнодействующая сила равна нулю и ускорение равно нулю;
2) Если тело движется равноускоренно, значит равнодействующая сила не нулевая;
3) Направление вектора равнодействующей силы всегда совпадает с направлением ускорения;
4) Уметь записывать уравнения проекций действующих на тело сил

Системы и блоки*

Блок – механическое устройство, колесо, вращающееся вокруг своей оси. Блоки могут быть подвижными и неподвижными.

Неподвижный блок используется лишь для изменения направления силы.

Тела, связанные нерастяжимой нитью, имеют одинаковые по величине ускорения.

Подвижный блок предназначен для изменения величины прилагаемых усилий. Если концы веревки, обхватывающей блок, составляют с горизонтом равные между собой углы, то для подъёма груза потребуется сила вдвое меньше, чем вес груза. Действующая на груз сила относится к его весу, как радиус блока к хорде дуги, обхваченной канатом.

Ускорение тела А в два раза меньше ускорения тела В.

Фактически, любой блок представляет собой рычаг, в случае неподвижного блока — равноплечий, в случае подвижного — с соотношением плеч 1 к 2. Как и для всякого другого рычага, для блока справедливо правило: во сколько раз выигрываем в усилии, во столько же раз проигрываем в расстоянии

Также используется система, состоящая из комбинации нескольких подвижных и неподвижных блоков. Такая система называется полиспаст.

Проекция ускорения закон

При прямолинейном движении векторы

В § 6 мы видели, что проекция разности двух векторов на какую-нибудь ось равна разности их проекций на ту же ось. Следовательно, для проекций векторов

Здесь а — проекция вектора а на ось

Так как все три вектора лежат на одной прямой (оси X), то абсолютные значения их проекций равны абсолютным значениям самих векторов.

Рассмотрим 2 случая ускоренного движения тела.

Первый случай. Скорость тела по абсолютному значению растет (тело «разгоняется»). Это значит, что

Второй случай. Тело тормозится, т. е. абсолютное значение его скорости уменьшается

Из формулы (1) можно получить выражение для скорости

В этой формуле, повторяем,

При решении задач выражение для скорости (2) удобно записывать так, чтобы из него сразу было видно, как направлен вектор ускорения.

Если скорость тела растет (разгон), то

Когда же скорость тела уменьшается (торможение),

Понятно, что тело, которое тормозится, должно когда-то остановиться. Это произойдет, как это видно из формулы (26), тогда, когда

движется, например, тело, брошенное вертикально вверх: долетев до высшей точки траектории, тело начинает движение вниз.

Если

Если же ось координат выбрана так, что направление вектора ускорения противоположно направлению оси координат, то из формулы (26) следует, что

Знак

Обычно мы называем движение с возрастающей по абсолютной величине скоростью ускоренным движением, а движение с убывающей скоростью

Мы знаем, что и перемещение, и скорость, и траектория движения различны относительно разных тел отсчета, движущихся друг относительно друга.

А ускорение? Относительно ли оно?

Ускорение тела, как мы теперь знаем, определяется векторной разностью двух значений его скорости в различные моменты времени. При переходе от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно, изменятся оба значения скорости. Но изменятся они на одну и ту же величину. Разность же их останется неизменной. Поэтому и ускорение останется неизменным.

Во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, ускорение тела одинаково.

Но ускорения тела будут различными в системах отсчета, движущихся с ускорением друг относительно друга. В этом случае ускорения складываются так же, как скорости (см. § 10).

Задача. Автомобиль проезжает мимо наблюдателя, двигаясь со скоростью 10 м/сек. В этот момент водитель нажимает на тормоз, и автомобиль начинает двигаться с ускорением

Решение. Выберем за начало отсчета то место, в котором находится наблюдатель, и направим координатную ось в сторону движения автомобиля. Тогда проекция скорости автомобиля на эту ось будет положительной. Так как скорость автомобиля

уменьшается, то проекция ускорения отрицательна и мы должны воспользоваться формулой (26):

Подставляя в эту формулу численные значения заданных величин, получим:

За положительное направление координатной оси можно принять и направление, противоположное движению. Тогда проекция начальной скорости автомобиля будет отрицательной

Результат получился тот же. Да он и не может зависеть от того, как выбрано направление оси координат!

1. Что такое ускорение и для чего его нужно знать?

2. При любом неравномерном движении изменяется скорость. Как ускорение характеризует это изменение?

3. Чем отличается замедленное прямолинейное движение от ускоренного?

4. Что такое равноускоренное движение?

5. Троллейбус, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением

6. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, останавливается при торможении в течение 4 сек. С каким ускорением движется автомобиль при торможении?

7. Грузовик, двигаясь с постоянным ускорением, на некотором участке пути увеличил свою скорость с 15 до 25 м/сек. За какое время произошло это увеличение скорости, если ускорение грузовика равно

8. Какая скорость движения была бы достигнута, если бы тело двигалось прямолинейно с ускорением

Равноускоренное движение: формулы, примеры

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение – это движение с ускорением, вектор которого не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту.

Рассмотрим последний случай более подробно. В любой точке траектории на камень действует ускорение свободного падения g → , которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y – равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.

Формулы для равноускоренного движения

Формула для скорости при равноускоренном движении:

Здесь v 0 – начальная скорость тела, a = c o n s t – ускорение.

Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v ( t ) имеет вид прямой линии.

Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.

a = v – v 0 t = B C A C

Чем больше угол β , тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.

Для первого графика: v 0 = – 2 м с ; a = 0 , 5 м с 2 .

Для второго графика: v 0 = 3 м с ; a = – 1 3 м с 2 .

По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t . Как это сделать?

Выделим на графике малый отрезок времени ∆ t . Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆ t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆ t . Тогда, перемещение ∆ s за время ∆ t будет равно ∆ s = v ∆ t .

Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆ t . Перемещение s за время t равно площади трапеции O D E F .

s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + ( v – v 0 ) 2 t .

Мы знаем, что v – v 0 = a t , поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:

s = v 0 t + a t 2 2

Для того, чтобы найти координату нахождения тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты при равноускоренном движении выражает закон равноускоренного движения.

Закон равноускоренного движения

y = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .

Еще одна распространенная задача, которая возникает при анализе равноускоренного движения – нахождение перемещения при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.

Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:

s = v 2 – v 0 2 2 a .

По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:

v = v 0 2 + 2 a s .

При v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s

Величины v , v 0 , a , y 0 , s , входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Второй закон Ньютона по праву считается основным законом динамики .

Ускорение a → , приобретаемое материальной точкой, пропорционально равнодействующей всех сил F → и обратно пропорционально массе m материальной точки (второй закон Ньютона):

Направление ускорения совпадает с направлением действия равнодействующей сил, приложенных к телу.

При поступательном движении материальной точки (тела) с постоянной скоростью ( a → = 0 ) равнодействующая сил равна нулю (рис. 2.19):

т.е. проекции равнодействующей на координатные оси равны нулю:

F 1 x + F 2 x + . + F Nx = 0;

F 1 y + F 2 y + . + F Ny = 0,

где F 1 x , F 2 x , . F Nx — проекции приложенных к телу сил на ось Ox ; F 1 y , F 2 y , . F Ny — проекции приложенных к телу сил на ось Oy .

При поступательном движении материальной точки (тела) с ус­ко­рением ( a → ≠ 0 ) равнодействующая сил равна произведению массы тела m на ускорение a → (рис. 2.20):

т.е. при наличии ускорения вдоль одной из координатных осей (например, Ox ) проекции равнодействующей на координатные оси определяются равенствами

F 1 x + F 2 x + . + F Nx = ma x ;

F 1 y + F 2 y + . + F Ny = 0,

где F 1 x , F 2 x , . F Nx — проекции сил, приложенных к телу, на ось Ox ; F 1 y , F 2 y , . F Ny — проекции сил, приложенных к телу, на ось Oy .

Выбор координатной оси целесообразно производить по направлению ускорения ( O x → ↑ ↑ a → ) ; тогда знак проекции ускорения (и проекции равнодействующей всех сил на указанную ось) будет положительным.

При движении материальной точки (тела) по окружности с постоянной по величине скоростью (рис. 2.21):

F → 1 + F → 2 + . + F → N = m a → ц . с ,

где F → 1 , F → 2 , . F → N — силы, приложенные к телу; m — масса тела; a → ц . с — его центростремительное ускорение, направленное по радиусу к центру окружности, модуль которого может быть вычислен по одной из формул:

a ц . с = v 2 R , a ц.с = ω 2 R , a ц.с = v ω,

где v — модуль скорости тела; R — радиус окружности; ω — величина угловой скорости тела.

Пример 25. К вертикальной стене горизонтальной силой 12 Н прижимается брусок массой 0,50 кг. Найти модуль вертикально направленной силы, под действием которой брусок будет скользить вниз с постоянной скоростью. Коэффициент трения принять равным 0,10.

Решение. Силы, действующие на тело, показаны на рисунке.

При движении тела без ускорения второй закон Ньютона записывается в виде:

F → 1 + F → 2 + F → тр + N → + m g → = 0 ,

или в проекциях на координатные оси

O x : − F 1 + N = 0, O y : m g − F 2 − F тр = 0, >

где F тр = µ N — модуль силы трения; µ — коэффициент трения; N — модуль силы нормальной реакции опоры; F 1 — модуль прижимающей силы; m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; F 2 — модуль искомой силы.

Из первого уравнения системы следует, что

следовательно, модуль силы трения определяется выражением

Подставляя F тр во второе уравнение, получим формулу для расчета силы F 2 :

F 2 = mg − F тр = mg − µ F 1 .

F 2 = 0,50 ⋅ 10 − 0,10 ⋅ 12 = 3,8 Н.

Пример 26. Под действием двух взаимно перпендикулярных сил, модули которых равны 30 H и 40 Н, тело из состояния покоя за 4,0 с переместилось на 20 м вдоль направления равнодействующей силы. Найти массу тела.

Решение. Силы, действующие на тело, изображены на рисунке.

Перемещение тела происходит под действием двух сил по направлению их равнодействующей

величина которой в данном случае (силы взаимно перпендикулярны) вычисляется по формуле

F = F 1 2 + F 2 2 .

Значение ускорения определяется выражением

где S — пройденный телом путь; t — время движения тела.

С другой стороны, величина ускорения может быть определена по второму закону Ньютона:

где m — масса тела; F — модуль равнодействующей.

записанное в явном виде

2 S t 2 = F 1 2 + F 2 2 m ,

позволяет найти массу тела:

m = t 2 F 1 2 + F 2 2 2 S = ( 4,0 ) 2 30 2 + 40 2 2 ⋅ 20 = 20 кг.

Пример 27. Брусок массой 2,5 кг лежит на горизонтальной поверхности с коэффициентом трения 0,2. К бруску приложена сила, модуль которой возрастает линейно от 0 до 16 Н за 4,0 с. Определить ускорение тела через 5,0 с после начала действия силы. Сила направлена под углом 45° к горизонту.

Решение. Силы, действующие на тело, показаны на рисунке.

Определим, начнет ли тело двигаться в указанном интервале времени. Для этого найдем значение t 0 , при котором сила трения покоя достигнет максимального значения:

F тр . пок max = μ N ,

где µ — коэффициент трения; N = m g − F 0 sin α — модуль силы нормальной реакции опоры; m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; F 0 — значение силы, приложенной к телу под углом α, в момент начала движения.

С другой стороны, сила трения покоя определяется выражением

В момент достижения максимального значения она равна

F тр . пок max = F 0 cos α .

Установим закон изменения величины силы F ( t ) с течением времени. Сила зависит от времени линейно; линейная зависимость силы от времени показана на рисунке и описывается уравнением

где k = tg β; t — время, т.е. F ( t ) = 4 t .

Подставим F 0 = 4 t 0 в выражения для N и F тр .пок max :

N = m g − 4 t 0 sin α ,

F тр . пок max = 4 t 0 cos α .

μ ( m g − 4 t 0 sin α ) = 4 t 0 cos α

следует, что искомый момент времени определяется формулой

t 0 = μ m g 4 ( μ sin α + cos α ) .

Вычисление дает значение

t 0 = 0,2 ⋅ 2,5 ⋅ 10 4 ( 0,2 ⋅ 0,5 2 + 0,5 2 ) ≈ 1,5 c.

Следовательно, тело начнет двигаться через 1,5 с после начала действия силы.

Для нахождения ускорения тела запишем основной закон динамики в виде

F → тр + N → + F → + m g → = m a → ,

или в проекциях на координатные оси:

O x : − F тр + 4 t cos α = m a , O y : − m g + N + 4 t sin α = 0. >

Из второго уравнения системы выразим силу реакции опоры

N = m g − 4 t sin α

и получим формулу для вычисления силы трения:

F тр = μ N = μ ( m g − 4 t sin α ) .

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

a = 4 t cos α − μ ( m g − 4 t sin α ) m = 4 t cos α + μ sin α m − μ g

и найдем значение ускорения в момент времени t = 5 c:

a = 4 ⋅ 5,0 ⋅ 0,5 2 + 0,2 ⋅ 0,5 2 2,5 − 0,2 ⋅ 10 ≈ 4,8 м/с 2 .

Пример 28. На легкой нерастяжимой нити длиной 1,5 м подвешен шарик массой 50 г. Пуля массой 10 г попадает в шарик и застревает в нем. В результате шарик приобретает скорость 12 м/с. Найти силу натяжения нити сразу после соударения шарика и пули.

Решение. Движение шарика с застрявшей в нем пулей происходит по окружности радиусом l под действием сил, показанных на рисунке.

Следовательно, равнодействующая силы тяжести m g → и силы натяжения нити T → является центростремительной силой:

F → ц . с = m g → + T → ,

где m = 50 + 10 = 60 г — масса шарика с застрявшей в нем пулей.

В проекции на ось Oy уравнение имеет вид:

где T — модуль силы натяжения нити; m — суммарная масса шарика и пули; g — модуль ускорения свободного падения.

Однако движение шарика происходит с непостоянной скоростью. Второй закон Ньютона можно записать только для мгновенных значений T и v :

T − m g = m v 2 R ,

где v — модуль мгновенной скорости; R = l — радиус окружности, равный длине нити.

Отсюда выразим искомое значение силы натяжения нити и рассчитаем ее значение:

T = m ( g + v 2 R ) = ( 50 + 10 ) ⋅ 10 − 3 ( 10 + 12 2 1,5 ) ≈ 6,4 Н.

I. Механика

Тестирование онлайн

Равноускоренное движение

В этой теме мы рассмотрим очень особенный вид неравномерного движения. Исходя из противопоставления равномерному движению, неравномерное движение – это движение с неодинаковой скоростью, по любой траектории. В чем особенность равноускоренного движения? Это неравномерное движение, но которое “равно ускоряется”. Ускорение у нас ассоциируется с увеличением скорости. Вспомним про слово “равно”, получим равное увеличение скорости. А как понимать “равное увеличение скорости”, как оценить скорость равно увеличивается или нет? Для этого нам потребуется засечь время, оценить скорость через один и тот же интервал времени. Например, машина начинает двигаться, за первые две секунды она развивает скорость до 10 м/с, за следующие две секунды 20 м/с, еще через две секунды она уже двигается со скоростью 30 м/с. Каждые две секунды скорость увеличивается и каждый раз на 10 м/с. Это и есть равноускоренное движение.

Физическая величина, характеризующая то, на сколько каждый раз увеличивается скорость называется ускорением.

Можно ли движение велосипедиста считать равноускоренным, если после остановки в первую минуту его скорость 7км/ч, во вторую – 9км/ч, в третью 12км/ч? Нельзя! Велосипедист ускоряется, но не одинаково, сначала ускорился на 7км/ч (7-0), потом на 2 км/ч (9-7), затем на 3 км/ч (12-9).

Обычно движение с возрастающей по модулю скоростью называют ускоренным движением. Движение же с убывающей скоростью – замедленным движением. Но физики любое движение с изменяющейся скоростью называют ускоренным движением. Трогается ли автомобиль с места (скорость растет!), или тормозит (скорость уменьшается!), в любом случае он движется с ускорением.

Равноускоренное движение – это такое движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется (может увеличиваться или уменьшаться) одинаково

Ускорение тела

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. Это число, на которое изменяется скорость за каждую секунду. Если ускорение тела по модулю велико, это значит, что тело быстро набирает скорость (когда оно разгоняется) или быстро теряет ее (при торможении). Ускорение – это физическая векторная величина, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Определим ускорение в следующей задаче. В начальный момент времени скорость теплохода была 3 м/с, в конце первой секунды скорость теплохода стала 5 м/с, в конце второй – 7м/с, в конце третьей 9 м/с и т.д. Очевидно,

Эту формулу чаще всего при решении задач применяют в видоизмененном виде:

Формула записана не в векторном виде, поэтому знак “+” пишем, когда тело ускоряется, знак “-” – когда замедляется.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения изображено на рисунках

На этом рисунке машина движется в положительном направлении вдоль оси Ox, вектор скорости всегда совпадает с направлением движения (направлен вправо). Когда вектор ускорение совпадает с направлением скорости, это означает, что машина разгоняется. Ускорение положительное.

При разгоне направление ускорения совпадает с направлением скорости. Ускорение положительное.

На этом рисунке машина движется в положительном направлении по оси Ox, вектор скорости совпадает с направлением движения (направлен вправо), ускорение НЕ совпадает с направлением скорости, это означает, что машина тормозит. Ускорение отрицательное.

При торможении направление ускорения противоположно направлению скорости. Ускорение отрицательное.

Разберемся, почему при торможении ускорение отрицательное. Например, теплоход за первую секунду сбросил скорость с 9м/с до 7м/с, за вторую секунду до 5м/с, за третью до 3м/с. Скорость изменяется на “-2м/с”. 3-5=-2; 5-7=-2; 7-9=-2м/с. Вот откуда появляется отрицательное значение ускорения.

При решении задач, если тело замедляется, ускорение в формулы подставляется со знаком “минус”.

Перемещение при равноускоренном движении

Дополнительная формула, которую называют безвременной

Формула в координатах

Связь со средней скоростью

При равноускоренном движении среднюю скорость можно рассчитывать как среднеарифметическое начальной и конечной скорости

Из этого правила следует формула, которую очень удобно использовать при решении многих задач

Соотношение путей

Если тело движется равноускоренно, начальная скорость нулевая, то пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечетных чисел.

Главное запомнить

1) Что такое равноускоренное движение;
2) Что характеризует ускорение;
3) Ускорение – вектор. Если тело разгоняется ускорение положительное, если замедляется – ускорение отрицательное;
3) Направление вектора ускорения;
4) Формулы, единицы измерения в СИ

Упражнения

Два поезда идут навстречу друг другу: один – ускоренно на север, другой – замедленно на юг. Как направлены ускорения поездов?

Одинаково на север. Потому что у первого поезда ускорение совпадает по направлению с движением, а у второго – противоположное движению (он замедляется).

Поезд движется равноускоренно с ускорением a (a>0). Известно, что к концу четвертой секунды скорость поезда равна 6м/с. Что можно сказать о величине пути, пройденном за четвертую секунду? Будет ли этот путь больше, меньше или равен 6м?

Так как поезд движется с ускорением, то скорость его все время возрастает (a>0). Если к концу четвертой секунды скорость равна 6м/с, то в начале четвертой секунды она была меньше 6м/с. Следовательно, путь, пройденный поездом за четвертую секунду, меньше 6м.

Какие из приведенных зависимостей описывают равноускоренное движение?

Уравнение скорости движущегося тела

*Автомобиль прошел за первую секунду 1м, за вторую секунду 2м, за третью секунду 3м, за четвертую секунду 4м и т.д. Можно ли считать такое движение равноускоренным?

В равноускоренном движении пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечетных чисел. Следовательно, описанное движение не равноускоренное.

Автор статьи: Татьяна Ефимова

Позвольте представиться. Меня зовут Татьяна. Я уже более 8 лет занимаюсь психологией. Считая себя профессионалом, хочу научить всех посетителей сайта решать разнообразные задачи. Все данные для сайта собраны и тщательно переработаны для того чтобы донести как можно доступнее всю необходимую информацию. Перед применением описанного на сайте всегда необходима ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ консультация с профессионалами.

✔ Обо мне ✉ Обратная связь