Проекция ускорения тела в момент времени

1. МЕХАНИКА
1.1. Кинематика

Движение с ускорением

Равноускоренное прямолинейное движение – движение по прямой с постоянным ускорением (а = const ).

Ускорение а (размерность: м/с 2 ) – векторная физическая величина, показывающая, на сколько изменяется скорость тела за 1 с.

В векторном виде:

В проекции на ось ОХ формула аналогичная

Знаки проекции ускорения зависят от направления вектора ускорения и оси – сонаправлены они или направлены противоположно.

Измерительный прибор – акселерометр. (В ЕГЭ по физике есть вопросы, каким прибором что измеряют.)

График ускорения – зависимость проекции ускорения от времени:

График ускорения при равноускоренном прямолинейном движении – прямая, параллельная оси времени (1, 2).
Чем дальше график от оси времени (2), тем больше модуль ускорения.

Мгновенная скорость – скорость в данный момент времени или в данном месте пространства .

Скорость при равноускоренном прямолинейном движении.

В векторном виде,
в проекции на ось OX,
с учетом знака ускорения («+» разгон, «-» торможение):

График мгновенной скорости – зависимость проекции скорости от времени.

График скорости при равноускоренном прямолинейном движении – прямая (1, 2, 3). Если график располагается над осью времени, то тело движется по направлению оси ОХ.

Чем больше угол наклона графика (3), тем больше модуль ускорения.

Если график пересекает ось времени (2), то на первом этапе тело тормозило, в какой-то момент скорость его стала равной нулю, и далее тело двигалось ускоренно в противоположную сторону.

Геометрический смысл перемещения

Модуль перемещения при равноускоренном прямолинейном движенииравен площади трапеции под графиком скорости.

Формулы для определения кинематических величин равноускоренного прямолинейного движения:

“Без ускорения” и “без времени” означает, что в этих формулах не фигурирует ускорение и время, но это не значит, что ускорение равно нулю.
Цветом выделены основные формулы, остальные легко выводятся из них.

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении позволяет определить кинематические величины равноускоренного прямолинейного движения даже в тех случаях, когда направление движения меняется:

Графики кинематических величин прямолинейного движения.
Их ндо уметь читать и рисовать. По горизонтальной оси обычно время. По вертикальной оси. будьте внимательны!

Свободное падение

Это частный случай движения с ускорением.

• Свободное падение происходит под действием только силы тяжести. Подробнее о связи силы с ускорением будет в теме “Динамика”, второй закон Ньютона.

• Сопротивление воздуха обычно не учитывается.

• Все тела независимо от массы падают (в вакууме или без учета сопротивления воздуха) с одинаковым ускорением.

• Ускорение свободного падения всегда направлено вниз, к центру Земли и равно g = 9,8 м/с 2 ; в задачах округляется до
g = 10 м/с 2 .

• Свободное падение по вертикали – пример равноускоренного прямолинейного движения.

• В задачах на свободное падение единицы измерения всех величин сразу следует переводить в СИ.

Основные формулы для определения кинематических величин при свободном падении (вертикальный бросок) те же, что даны выше. При этом ускорение a=g=10 м/с 2 .

Уравнение координаты при свободном падении позволяет определить кинематические величины свободного падения даже в тех случаях, когда направление движения изменяется. Уравнение координаты позволяет определить высоту тела в любой момент времени.

В разделе “Динамика” рассмотрим более сложные случаи:
– Тело подбросили от земли и поймали на некоторой высоте.
– Тело подбросили от земли, на одной и той же высоте оно побывало дважды.
– Горизонтальный бросок (движение по параболе). Бросок под углом к горизонту.

Проекция ускорения тела в момент времени

Материалы к зачету по теме “Основные законы механики “

1. Механическое движение.
Явление механического движения тел (материальных точек)состоит в том, что положение тела относительно других тел, т. е. его координаты, с течением времени изменяется.Чтобы найти координаты тела в любой момент времени, нужно знать начальные координаты и вектор перемещения тела. Изменение координаты тела равно проекции вектора перемещения на соответствующую ось координат.

Прямолинейное равномерное движение — это самый простой вид движения.При таком движении нужно определять лишь одну координату потому, что координатную ось можно направить вдоль направления движения тела. Координату х тела (материальной точки) в любой момент времени t можно вычислить по формуле:

,

где

— начальная координата тела, а — проекция вектора его скорости на ось х. При вычислениях по этой формуле знаки входящих в нее величин определяются условием задачи.

Механическое движение относительно. Это значит, что перемещение и скорость тела относительно различных систем координат, движущихся друг относительно друга, различны.

Покой также относителен. Если относительно какой-то системы координат тело покоится, то существуют и такие системы отсчета, относительно которых оно движется.

2. Основная задача механики
состоит в нахождении положения тела в любой момент времени. Решение этой задачи идет по своеобразной «цепочке»:
чтобы найти координату точки, нужно знать ее перемещение, а чтобы вычислить перемещение, нужно знать скорость движения.
По такой цепочке: скорость → перемещение → координата решают задачи механики для прямолинейного равномерного движения.

Если движение ускоренное, то нужно знать ускорение, так что при таком движении задачи решают по «цепочке» ускорение → скорость → перемещение → координата. И для равномерного, и для ускоренного движения должны быть известны начальные условия — начальные координаты и начальная скорость.
При прямолинейном ускоренном движении мгновенная скорость тела (материальной точки) непрерывно изменяется от одного момента времени к другому. Поэтому для вычисления скорости в любой момент времени и в любой точке нужно знать быстроту ее изменения, т.е. ускорение:

.

Проекцию скорости тела на выбранную координатную ось в любой момент времени t вычисляют по формуле:

.

Координату тела находят по формуле:

.

Проекцию перемещения находят по формуле:

.

Из приведенных формул получаются формулы для скорости, координат и перемещений при равномерном прямолинейном движении, если принять, что а x = 0.

Значение проекции перемещения при равноускоренном движении можно определить также по формуле:

.

Так как

, то для координаты тела х имеем:

При вычислениях по приведенным формулам знаки проекций векторов

, а также знак начальной координаты х, определяются условием задачи и направлением оси координат.

3. При криволинейном движении непрерывно изменяется направление вектора скорости, и в каждой точке траектории он направлен по касательной к траектории в данной точке. Поэтому даже равномерное движение по криволинейной траектории, при котором значение модуля скорости постоянно, есть ускоренное движение. Движение тела (материальной точки) по окружности описывают не только с помощью линейных величин — перемещения и скорости, но и с помощью угловых величин — угла поворота радиуса &#966, проведенного из центра окружности к телу, и угловой скорости ω.

Связь между линейной и угловой скоростью выражается формулой:

,

где r — радиус окружности.
При равномерном движении по окружности вектор ускорения в любой точке окружности перпендикулярен вектору скорости и направлен к центру окружности. Модуль вектора центростремительного ускорения выражается равенством:

.

Относительно вращающегося стержня (оси) не закрепленное на нем тело (точка) движется вдоль стержня по направлению от оси вращения.

Пример решения задачи:

1. Ширина реки 200 м. Лодка, держа курс перпендикулярно течению реки, достигла противоположного берега за 140 с. Скорость течения воды в реке 0,8 м/с. Определите скорость и перемещение лодки относительно берега.

Вычисления:

Ответ: Скорость лодки относительно берега 1,6 м/с, перемещение 112 м.

Решите задачи самостоятельно:

1. Через реку переправляется лодка, выдерживая курс перпендикулярно течению. Скорость лодки
4 м/с, скорость течения реки 3 м/с. Какова ширина реки, если лодку снесло на 60 м?

2. 9 км/ч = . м/с; 10 м/с = . км/ч; 8 км/с = . км/ч, 54 км/ч = . м/с.

3. Автомобиль движется: а) с постоянной скоростью; б) с постоянным ускорением;
в) с положительным ускорением; г) с отрицательным ускорением.
Назовите вид каждого движения и изобразите соответствующие графики скорости.

Определение проекции скорости

По графикам зависимости координаты от времени x ( t ) (или пройденного пути от времени S ( t )) можно рассчитать соответствующую проекцию скорости v x в определенный момент времени (рис. 1.11), например t = t 1 .

Для этого следует:

1) отметить на оси времени указанное значение момента времени t 1 ;

2) восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком x ( t );

3) провести к графику касательную линию в точке его пересечения с перпендикуляром;

4) рассчитать тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси времени;

5) определить проекцию скорости на ось Ox как тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси времени:

v x ( t 1 ) = tg α 1 .

Следует отметить, что проекция скорости v x является

• положительной , если касательная к графику образует острый угол с направлением оси t (см. рис. 1.11);
• отрицательной , если касательная к графику образует тупой угол с направлением оси t (рис. 1.12).

Пояснение к использованию алгоритма. На рис. 1.12 изображен график зависимости координаты от времени x ( t ). Для определения проекции скорости на ось Ox в момент времени t 3 проведен перпендикуляр t = t 3 . В точке пересечения перпендикуляра с зависимостью x ( t ) проведена касательная линия. Она образует тупой угол с осью t . Следовательно, проекция скорости v x на ось Ox в указанный момент времени является отрицательной величиной:

v x ( t 3 ) = − | tg α 3 | .

Определение проекции ускорения

По графику зависимости проекции скорости от времени v x ( t ) можно рассчитать проекцию ускорения a x на соответствующую ось в определенный момент времени (рис. 1.13), например t = t 2 .

Для этого следует:

1) отметить на оси времени указанное значение момента времени t 2 ;

2) восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком v x ( t );

3) провести к графику касательную линию в точке его пересечения с перпендикуляром;

4) рассчитать тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси времени;

5) определить проекцию ускорения на ось Ox как тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси времени:

a x ( t 2 ) = tg α 2 .

Следует отметить, что проекция ускорения a x является

• положительной , если касательная к графику образует острый угол с направлением оси t (см. рис. 1.13);

• отрицательной , если касательная к графику образует тупой угол с направлением оси t (рис. 1.14).

Пояснение к использованию алгоритма. На рис. 1.14 изображен график зависимости проекции скорости от времени v x ( t ). Для определения проекции ускорения на ось Ox в момент времени t 4 проведен перпендикуляр t = t 4 . В точке пересечения перпендикуляра с зависимостью v x ( t ) проведена касательная линия. Она образует тупой угол с осью t . Следовательно, проекция ускорения a x на ось Ox в указанный момент времени является отрицательной величиной:

a x ( t 4 ) = − | tg α 4 | .

Определение пройденного пути и модуля перемещения (комбинация равномерного и равноускоренного движения)

По графику зависимости проекции скорости от времени v x ( t ) можно рассчитать пройденный путь и модуль перемещения материальной точки (тела) за определенный промежуток времени ∆ t = t 2 − t 1 .

Для расчета указанных характеристик по графику, содержащему участки только равноускоренного и равномерного движения, следует:

1) отметить на оси времени указанный интервал времени ∆ t ;

2) восстановить перпендикуляры из точек t = t 1 и t = t 2 до пересечения с графиком v x ( t );

3) рассчитать площадь, ограниченную графиком v x ( t ), перпендикулярами t = t 1 и t = t 2 , осью t ;

4) вычислить пройденный путь S и модуль перемещения ∆ r как суммы:

S = S 1 + S 2 + . + S n ,

∆ r = S 1 + S 2 + . + S n ,

где S 1 , S 2 , . S n — пути, пройденные материальной точкой на каждом из участков равноускоренного и равномерного движения.

Пояснение к использованию алгоритма . На рис. 1.15 показана зависимость проекции скорости от времени для материальной точки (тела), движущейся на участке AB равноускоренно, на участке BC — равномерно, на участке CD — равноускоренно, но с ускорением, отличающимся от ускорения на участке AB .

В этом случае пройденный путь S и модуль перемещения ∆ r совпадают и рассчитываются по формулам:

S = S 1 + S 2 + S 3 ,

∆ r = S 1 + S 2 + S 3 ,

где S 1 — путь, пройденный материальной точкой (телом) на участке AB ; S 2 — путь, пройденный на участке BC ; S 3 — путь, пройденный на участке CD ; S 1 , S 2 , S 3 рассчитываются по алгоритму, приведенному выше.

Определение пройденного пути и модуля перемещения (комбинация равномерного, равноускоренного и равнозамедленного движения)

Для расчета указанных характеристик по графику v x ( t ), содержащему участки не только равноускоренного и равномерного, но и равнозамедленного движения, следует:

1) отметить на оси времени указанный интервал времени ∆ t ;

2) восстановить перпендикуляры из точек t = t 1 и t = t 2 до пересечения с графиком v x ( t );

3) рассчитать площадь, ограниченную графиком v x ( t ), перпендикулярами t = t 1 и t = t 2 , осью t ;

4) вычислить пройденный путь S как сумму:

S = S 1 + S 2 + . + S n ,

где S 1 , S 2 , . S n — пути, пройденные материальной точкой на каждом из участков;

5) вычислить модуль перемещения как разность суммарного пути, пройденного материальной точкой до точки остановки, и пути, пройденного материальной точкой после остановки.

Пояснение к использованию алгоритма . На рис. 1.16 показана зависимость скорости от времени для материальной точки (тела), движущейся на участке AB равноускоренно, на участке BC — равномерно, на участке CF — равнозамедленно.

В том случае, когда есть участок равнозамедленного движения (включающий точку остановки — точка D ), пройденный путь S и модуль перемещения ∆ r не совпадают. Пройденный путь вычисляют по формуле

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ,

где S 1 — путь, пройденный материальной точкой (телом) на участке AB ; S 2 — путь, пройденный на участке BC ; S 3 — путь, пройденный на участке CD ; S 4 — путь, пройденный на участке DF ; S 1 , S 2 , S 3 , S 4 рассчитываются по алгоритму, приведенному выше; необходимо отметить, что величина S 4 является положительной.

Модуль перемещения вычисляют по формуле

∆ r = S 1 + S 2 + S 3 − S 4 ,

вычитая путь, пройденный материальной точкой (телом) после поворота.

Определение модуля изменения скорости

По графику зависимости проекции ускорения от времени a x ( t ) можно найти модуль изменения скорости ∆ v материальной точки (тела) за определенный интервал времени ∆ t = t 2 − t 1 (рис. 1.17).

Для этого следует:

1) отметить на оси времени указанный интервал времени ∆ t ;

2) восстановить перпендикуляры из точек t = t 1 и t = t 2 до пересечения с графиком a x ( t );

3) рассчитать площадь, ограниченную графиком a x ( t ), перпендикулярами t = t 1 и t = t 2 , осью t ;

4) вычислить модуль изменения скорости за указанный интервал времени как площадь.

Пример 4. График зависимости проекции скорости первого тела на ось Ox от времени изображается прямой, проходящей через точки (0; 6) и (3; 0), второго — через точки (0; 0) и (8; 4), где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Во сколько раз отличаются модули ускорений первого и второго тел?

Решение. Графики зависимости проекций скорости от времени для обоих тел показаны на рисунке.

Проекция ускорения первого тела определяется как тангенс тупого угла α 1 ; ее модуль вычисляем по формуле

| a x 1 | = | tg α 1 | = | tg ( 180 − α 3 ) | = 6 3 = 2 м/с 2 .

Первое тело движется равнозамедленно; величина его ускорения составляет a 1 = = 2 м/с 2 .

Проекция ускорения второго тела определяется как тангенс острого угла α 2 ; ее модуль вычисляем по формуле

a x 2 = tg α 2 = 4 8 = 0,5 м/с 2 .

Второе тело движется равноускоренно; величина его ускорения составляет a 2 = 0,5 м/с 2 .

Искомое отношение модулей ускорений первого и второго тел равно:

a 1 a 2 = 2 0,5 = 4 .

Величина ускорения первого тела больше величины ускорения второго тела в 4 раза.

Пример 5. График зависимости y -координаты от времени для первого тела изображается прямой, проходящей через точки (0; 0) и (5; 3), второго — через точки (3; 0) и (6; 6), где координата задана в метрах, время — в секундах. Определить отношение модулей проекций скоростей указанных тел.

Решение. Графики зависимости y -координаты от времени для обоих тел показаны на рисунке.

Проекция скорости первого тела определяется как тангенс угла α 1 ; ее модуль вычисляем по формуле

v y 1 = tg α 1 = 3 5 = 0,6 м/с.

Проекция скорости второго тела определяется как тангенс угла α 2 ; ее модуль вычисляем по формуле

v y 2 = tg α 2 = 6 3 = 2 м/с.

Обе проекции скоростей имеют положительный знак; следовательно, оба тела движутся равноускоренно.

Отношение модулей проекций скоростей указанных тел составляет:

| v y 2 | | v y 1 | = 2 0,6 ≈ 3 .

Величина проекции скорости второго тела больше величины проекции скорости второго тела приблизительно в 3 раза.

Пример 6. График зависимости скорости тела от времени изображается прямой, проходящей через точки (0; 4,0) и (2,5; 0), где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Во сколько раз путь, пройденный телом, больше модуля перемещения за 6,0 с движения?

Решение. График зависимости скорости тела от времени показан на рисунке. Точка остановки τ ост = 2,5 с попадает в интервал от 0 с до 6,0 с.

Следовательно, пройденный путь представляет собой сумму

а модуль перемещения — разность

| Δ r → | = | S 1 − S 2 | ,

где S 1 — путь, пройденный телом за интервал времени от 0 с до 2,5 с; S 2 — путь, пройденный телом за интервал времени от 2,5 с до 6,0 с.

Значения S 1 и S 2 рассчитаем графически как площади треугольников, показанных на рисунке:

S 1 = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 2,5 = 5,0 м;

S 2 = 1 2 ⋅ ( 6,0 − 2,5 ) ⋅ 5,6 = 9,8 м.

Замечание : значение скорости v = 5,6 м/с в момент времени t = 6,0 c получено из подобия треугольников, т.е. из отношения

v 4,0 = 6,0 − 2,5 2,5 − 0 .

Вычислим пройденный путь:

S = S 1 + S 2 = 5,0 + 9,8 = 14,8 м

и величину перемещения:

| Δ r → | = | S 1 − S 2 | = | 5,0 − 9,8 | = 4,8 м.

Найдем искомое отношение пройденного пути и модуля перемещения:

S | Δ r → | = 14,8 4,8 ≈ 3,1 .

Пройденный путь приблизительно в 3,1 раза превышает величину перемещения.

Задача 5117 На рисунке приведен график зависимости

На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела на ось ОХ от времени.

На каком из графиков представлена проекция ускорения тела на ось ОХ в интервале времени от 5 с до 10 с?

в интервале времени от 5 до 10 секунд скорость изменяется линейно, то есть ускорение постоянно( график – горизонтальная прямая )

находим ускорение по формуле a=(v1-v2)/(t1-t2)
где v1 -скорость тела в момент времени t1
v2 -скорость тела в момент времени t2

ЕГЭ по Физике

Автомобиль движется по прямой улице. На графике представлена зависимость его скорости от времени. Чему равен модуль ускорения автомобиля в промежуток времени от 10 с до 20 с?

На рисунке представлен график зависимости пути S велосипедиста от времени t. Найдите скорость велосипедиста в интервале времени от 50 до 70 с. Ответ в м/c.

Два автомобиля движутся по прямолинейной дороге – один со скоростью v(вектор), второй – со скоростью (-3v(вектор)). Какова скорость второго автомобиля относительно первого?

1) v(вектор)
2) -2v(вектор)
3) -4v(вектор)
4) 4v(вектор)

Точечное тело движется вдоль оси ОХ. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой x = -5 м. На рисунке изображена зависимость проекции скорости Vx этого тела от времени t. В момент времени t = 4 с координата этого тела равна

1) 11 м
2) 16 м
3) 19 м
4) 24 м

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v автомобиля от времени t. На каком отрезке времени движение автомобиля было равнозамедленным?

1) 0-1 с
2) 1-3 с
3) 1-5 с
4) 3-5 с

На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени.

Какой из указанных ниже графиков совпадает с графиком зависимости проекции ускорения тела ах от времени t в интервале времени от 12 до 16 с?

На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела на ось ОХ от времени.
На каком из ниже приведенных графиков представлена проекция ускорения тела на ось ОХ в интервале времени от 5с до 10с?

На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела на ось ОХ от времени.

На каком из графиков представлена проекция ускорения тела на ось ОХ в интервале времени от 5 с до 10 с?

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v автомобиля от времени t. На каком отрезке времени движение автомобиля было равноускоренным?
1) 0-1 с
2) 1-3 с
3) 1—5 с
4) 0-3 с

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от 0 до 30 с.
1) 50 м 2) 100 м 3) 200 м 4) 250 м

На каком из графиков изображена возможная зависимость пройденного пути от времени?
1) А
2) Б
3) В
4) Такой график отсутствует

Вопрос: Два тела движутся по оси Ox. На рисунке приведены графики зависимости проекций их скоростей υx от времени t. На основании графиков выберите два верных утверждения о движении тел. 1) Проекция ax ускорения тела 1 меньше проекции ax ускорения тела 2. 2) Проекция ax ускорения тела 1 равна 0,6 м/с2. 3) Тело 1 в момент времени 0 с находилось в начале отсчёта. 4) В момент времени 15 с тело 2 изменило направление своего движения. 5) Проекция ax ускорения тела 2 равна 0,2 м/с2. Если решите и задачу ниже,буду благодарен в двойне!=) скриншот с сайта ФИПИ,если поможете мне,то поможете и другим=)

Два тела движутся по оси Ox. На рисунке приведены графики зависимости проекций их скоростей υx от времени t. На основании графиков выберите два верных утверждения о движении тел. 1) Проекция ax ускорения тела 1 меньше проекции ax ускорения тела 2. 2) Проекция ax ускорения тела 1 равна 0,6 м/с2. 3) Тело 1 в момент времени 0 с находилось в начале отсчёта. 4) В момент времени 15 с тело 2 изменило направление своего движения. 5) Проекция ax ускорения тела 2 равна 0,2 м/с2. Если решите и задачу ниже,буду благодарен в двойне!=) скриншот с сайта ФИПИ,если поможете мне,то поможете и другим=)

Верны 4 и 5. Действительно, если мы посмотрим момент времени 15 секунд, то увидим, что проекция скорости второго тела равна нулю, а до этого она была отрицательной. Это говорит о том, что тело двигалось против оси х и в момент времени 15с ее проекция скорости стала равной нулю и в дальнейшем стала положительной. Это значит, что тело изменило направление своего движения. Рассмотрим 5: возьмем произвольный промежуток времени (от 15с до 30с.). Воспользуемся формулой ускорения и найдем: (3-0)/15=3/15=0,2м/с^2

Правильные ответы 4) т.к. проекция скорости меняет знак, и 5) а=(3-(-3))/30=6/30=0,2 м/с².

График проекции скорости в зависимости от времени.

Равнопеременное движение по прямой.

3.1.1. Равнопеременное движение по прямой — движение по прямой с постоянным по модулю и направлению ускорением:

3.1.2. Ускорение ( ) — физическая векторная величина, показывающая, на сколько изменится скорость за 1 с.

В векторном виде:

где

— начальная скорость тела, — скорость тела в момент времени t.

В проекции на ось Ox:

где

— проекция начальной скорости на ось Ox, — проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t.

Знаки проекций зависят от направления векторов и оси Ox.

График проекции ускорения от времени.

При равнопеременном движении ускорение постоянно, поэтому будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис.):

Значение ускорения: чем дальше от оси времени лежит прямая, тем больше модуль ускорения

Скорость при равнопеременном движении.

В векторном виде:

В проекции на ось Ox:

Для равноускоренного движения:

Для равнозамедленного движения:

График проекции скорости в зависимости от времени.

График проекции скорости от времени — прямая линия.

Направление движения: если график (или часть его) находятся над осью времени, то тело движется в положительном направлении оси Ox.

Значение ускорения: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль ускорения;

где — изменение скорости за время

Пересечение с осью времени: если график пересекает ось времени, то до точки пересечения тело тормозило (равнозамедленное движение), а после точки пересечения начало разгоняться в противоположную сторону (равноускоренное движение).

3.1.6. Геометрический смысл площади под графиком в осях

Площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox — время — это путь, пройденный телом.

На рис. 3.5 нарисован случай равноускоренного движения. Путь в данном случае будет равен площади трапеции:

(3.9)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9589 –

| 7565 – или читать все.

185.189.13.12 © xn----ctbetbqubfsc3c1hk.xn--p1ai Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Зависимость координаты x тела от времени t задаётся уравнением x = 3 − 5t + t 2…

Зависимость координаты x тела от времени t задаётся уравнением x = 3 − 5t + t 2 . Какова проекция ускорения тела на ось Ox в момент времени 2 с? Ответ выразите в (м/c 2 ).

Объект авторского права ООО «Легион»

Вместе с этой задачей также решают:

Тело движется вдоль оси Ox. На рис. приведён график зависимости проекции скорости тела $ν_x$ от времени $t$. Какой путь прошло тело в интервале времени от 0 с до 6 с? Ответ в м.

На рисунке приведён график зависимости проекции скорости от времени для некоторого тела. Какова средняя путевая скорость тела за 6 с? Ответ в м/с.

Материальная точка равномерно движется по окружности. Найдите отношение пути к модулю перемещения за половину периода.

Материальная точка движется равномерно по окружности по часовой стрелке. В какой точке траектории ускорение направлено по стрелке?

На рисунке приведён график зависимости проекции скорости на некоторую ось от вр…

На рисунке приведён график зависимости проекции скорости на некоторую ось от времени. Какова проекция ускорения на эту ось? Ответ в м/с 2 .

Объект авторского права ООО «Легион»

Вместе с этой задачей также решают:

Материальная точка движется равномерно по окружности по часовой стрелке. В какой точке траектории ускорение направлено по стрелке?

Точка движется вдоль оси Ox со скоростью, проекция которой как функция времени представлена на графике. Вычислите путь, пройденный точкой за первые 5 с. Ответ в м.

Материальная точка равномерно движется по окружности. Найдите отношение пути к модулю перемещения за половину периода.

Первую четверть пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч. Средняя скорость на всём пути оказалась равной 40 км/ч. С какой скоростью поезд двигался на оставшейся части пути? Ответ выр…

Вопрос: Небольшое тело движется поступательно вдоль оси OX. Его координата x изменяется с течением времени t по закону x(t)=2+t−t2, где t выражено в секундах, а x — в метрах. Чему равна проекция ускорения этого тела на ось OX в момент времени t=1 с?

Небольшое тело движется поступательно вдоль оси OX. Его координата x изменяется с течением времени t по закону x(t)=2+t−t2, где t выражено в секундах, а x — в метрах. Чему равна проекция ускорения этого тела на ось OX в момент времени t=1 с?

скорость – первая производная координаты по времени v=x’=1-2t ускорение – вторая производная координаты по времени или первая производная скорости a=v’=x”=-2 м/с^2

Сравнивая общий вид уравнения х=х₀ +V₀t +at²/2 и уравнение в условии задачи, видим, что а/2 =-1 м/с²⇒ а =-2 м/с². Это и есть проекция ускорения на ось х, так как а= -2м/с² =const

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (бросок)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — движение тела в двумерной системе координат (по двум осям) при изначальном направлении начальной скорости под углом к горизонту. Данное движение является сложным видом механического движения с криволинейной траекторией. Такие типы движений принято рассматривать в проекции на оси выбранной системы координат. В нашем конкретном случае возьмём декартову систему координат и запустим тело под углом к оси ОХ (рис. 1).

Рис. 1. Тело бросили под углом к горизонту

Классическая постановка задач на подобную тематику: тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью , найти различные параметры движения.

Первое, что мы сделаем, это попробуем данное сложное движение представить как сумму простых (рис. 2).

Рис. 2. Тело бросили под углом к горизонту (максимальная высота подъёма, путь по горизонтали, движение)

Рассмотрим само движение. После броска траектория движущегося тела представляет собой параболу (докажем позже). Выберем произвольную точку на параболе и укажем ускорение, с которым движется тело в данный момент (ускорение свободного падения). Направление данного ускорения — вертикально вниз. Проекции данного ускорения на ось ОХ ( (м/ ), а на ось OY ( (м/ ).

Тогда, вдоль оси ОХ, тело движется равномерно (т.к. ускорение вдоль этой оси равно 0). Более сложным является движение тела вдоль оси OY: между точками A и B тело движется замедляясь, при этом движение равнозамедленное. Между точками B и C движение равноускоренное (рис.2, подписи). Исходя из установленного вида движения, можем решать задачу.

Рис. 3. Тело бросили под углом к горизонту (проекции скоростей)

Для рассмотрения движения тела вдоль осей, введём начальные скорости движения тела вдоль выбранных нами осей (рис. 3). На рисунке представлена часть траектории в самом начале движения. Начальные скорости движения вдоль осей обозначим и . Исходя из треугольника, катетами которого являются наши проекции (можно построить параллельным переносом), а гипотенузой — модуль вектора начальной скорости ( ), можем найти значения необходимых нам проекций:

Вернёмся к рисунку 2. Попробуем найти полное время полёта ( ). Для этого воспользуемся тем, что вдоль оси OY тело движется равнозамедленно, а в точке B движение вдоль этой оси и вовсе останавливается. Таким образом, конечная скорость в этой точке вдоль оси OY равна 0. Тогда, исходя из движения:

— т.к. время движения от точки А до B, и от B до C одинаково. Тогда:

Перейдём к вопросу о максимальной дальности броска в горизонтальном направлении ( ).

Вдоль горизонта тело движется равномерно (рис. 2). Тогда путь, проделанный телом за время :

А с учётом (1) и (5):

Перейдём к максимальной высоте полёта ( ). Данный параметр связан с движением тела вдоль оси OY, которое, как мы выяснили, является равноускоренным/равнозамедленным. Рассмотрим участок BC: для него вдоль соответствующей оси тело без начальной скорости движется с ускорением ( ) в течение времени , формируем уравнение:

Таким образом, ряд параметров движения при броске под углом к горизонту можно вычислить, зная лишь начальные параметры броска.

Рис. 4. Тело бросили под углом к горизонту (конечная скорость)

Далее попробуем найти конечную скорость движения (при таких движениях, конечная скорость — скорость при подлёте к Земле). Рассмотрим конечную точку движения С (рис. 4). Скорость тела направлена под неким углом . Построим проекции данного вектора на оси OX и OY. На основании построенного треугольника реализуем теорему Пифагора для поиска модуля полной конечной скорости:

Найдём компоненты вектора . Т.к. движение вдоль оси OX равномерное, значит, , используя (1):

Движение вдоль оси OY от точки B в точку C равноускоренное, причём, без начальной скорости за время , тогда:

Используя (5), получим:

Подставим (12) и (13) в (10):

Для избавления от тригонометрических функций мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством. Таким образом, доказано, что конечная скорость такого движения равна начальной, кроме того, из треугольника видно, что тело подлетело к земле под углом .

Вывод:

• для движения тела, брошенного под углом к горизонту, выведены добавочные формулы: (5), (7), (9), которые могут существенно упростить решение задачи.
• представлен один из общих способов нахождения скорости при криволинейном движении (через теорему Пифагора и поиск компонент вектора).