Найдите координаты проекций точек

найдите координаты проекций точек А( 2; -3; 5) В( 3; -5; 1/2)

Проекции на три координатные плоскости:

на ХОУ: (2;-3;0)

на ХОZ: (2;0;5)

на УОZ: (0;-3;5)

Проекции на координатные плоскости:

на ХОУ: (3;-5;0)

на ХОZ: (3;0;1/2)

на УОZ: (0;-5;1/2).

Другие вопросы из категории

м), если DP=5 см. (Буду очень благодарна за помощь:)

конец диагонали меньшего основания перпендикулярно к этой диагонали и определить его площадь.

Читайте также

треугольника воспользовавшись формулами а3=Rкорень из 3 а3=2r корень из3

Б)Найдите расстояние от точки А до сторон треугольника

точки Е(-1;2;3) и F(1;-1;4). Разложите вектор EF по векторам i,j,k

перпендикуляр к плоскости а, КМ и КР – наклонные к плоскости а, ОМ и ОР – проекции наклонных, причем сумма их длин равна 15 см. Найдите расстояние от точки К до плоскости а, если КМ = 15 см и КР = 10√ 3 см. а) 18 см; б) 10 √ 2 см; в) 12√ 3 см; г) 12 √2 см. 3. В треугольнике АКС АК ┴ СК ; точка М не принадлежит плоскости АКС и МК ┴ СК. Какие высказывания верны? 1) АК ┴ (СКМ) ; 3) АК ┴ МК ; 2) СК ┴ (АКМ); 4) СК ┴ АМ. А) 1 ; б) 1; 3 ; в) 2 ; 4 ; г) 4. 4. Треугольник АВС – прямоугольный, 10-11 класс геометрия ответов 1

плоскостей, б)осей координат, в)начала координат

2)какая из точек A(2;1;5) или B(-2;1;6) – лежит ближе к началу координат?

а)Укажите проекцию треугольника DAC на плоскость ABC. б) Найдите расстояние от точки D до прямой AC.

Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M на плоскость α, необходимо:

• построить прямую L, проходящую через точку M и ортогональной плоскости α.
• найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).

Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M(x, y, z) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M(x, y, z) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

(4)

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

A(At+x)+B(Bt+y)+C(At+z)+D=0,

A 2 t+Ax+B 2 t+By+C 2 t+Cz+D=0,

(5)

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁ точки M на плоскость (1).

Пример 1. Найти проекцию M₁ точки M(4, -3, 2) на плоскость

(6)

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

Подставляя координаты точки M и нормального вектора плоскости в (5), получим:

(7)

Из выражений (7) находим:

Проекцией точки M(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

Найдите координаты

Геометрическое место >>

Упражнение 1. Найдите координаты ортогональных проекций точек A(1, 3, 4) и B(5, -6, 2) на: а) плоскость Oxy; б) плоскость Oyz; в) ось Ox; г) ось Oz. Ответ: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0); г) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

Картинка 7 из презентации «Прямоугольная система координат» к урокам геометрии на тему «Векторы в пространстве»

Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока геометрии, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Прямоугольная система координат.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива – 116 КБ.

Векторы в пространстве

«Определение компланарных векторов» – Фронтальный опрос. Так как векторы компланарны, то они лежат в одной плоскости. Справедливо ли утверждение. Признак компланарности трех векторов. Устное решение. Новый материал. Определение. Компланарные векторы. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого. Цели урока. Мы умеем на плоскости складывать векторы по правилу треугольника.

«Прямоугольная система координат в пространстве» – Сумма векторов. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны. Разложение вектора по координатным векторам. Прямоугольная система координат в пространстве. Скалярное произведение векторов. Координаты равных векторов. Координаты вектора в пространстве.

«Прямоугольная система координат» – Координаты точек пространства. Координаты. Декарт. Геометрическое место. Координаты середины отрезка. Сфера радиуса. Точка. Начало координат. Ребро. Прямоугольная система координат. Центр нижнего основания куба. Геометрическое место точек. Найдите координаты. Координаты точки.

«Понятие вектора в пространстве» – Векторы в пространстве. Записать все термины по теме «Векторы на плоскости». Современная символика для обозначения вектора. MNPQ- квадрат. Какие векторы на рисунке сонаправленные. Решение задач. Могут ли быть равными векторы на рисунке. Определение вектора в пространстве. Доказать, что от любой точки пространства можно отложить вектор.

«Декартова система координат» – Общее уравнение прямой на координатной плоскости. Аналитическое уравнение эллипса. Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Элементы системы координат. Уравнение у2 = 4х – 8 определяет параболу. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

«Решение задач координатным методом» – Отрезки. Угол. Введите прямоугольную систему координат. Найдите расстояние между прямыми. Математический диктант. Алгоритм решения задач. Точка. Уравнения координатных плоскостей. Стороны основания. Составьте уравнение плоскости. Тексты задач. Ромб. Назовите наклонную к плоскости. В основании многогранника.

Всего в теме «Векторы в пространстве» 23 презентации

Найдите координаты проекций точек А (-8;2),В (-4;-5),С (2,3;0),D(3;-2) на координатные оси.

Первые координаты — координаты проекций точек на ось абсцисс, а вторые — на ось ординат.

Если ответ по предмету Геометрия отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.

Найдите координаты проекций точек А( 2; -3; 5) В( 3; -5; 1/2)

Ответ оставил Гуру

Проекции на три координатные плоскости:

на ХОУ: (2;-3;0)

на ХОZ:(2;0;5)

на УОZ: (0;-3;5)

Проекции на координатные плоскости:

на ХОУ: (3;-5;0)

на ХОZ: (3;0;1/2)

на УОZ: (0;-5;1/2).

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Геометрия.

Задача 32389 Найти координаты проекции точки

Найти координаты проекции точки А=(-4,-2,3) на прямую,проходящую через точки В=(-1,-2,-3) и С=(-5,-3,-2).

Добавил vk348596013 , просмотры: ☺ 181 ⌚ 2018-12-24 16:04:04. математика 1k класс

Решения пользователей

РЕШЕНИЕ ОТ sova

Составим уравнение прямой ВС как прямой, проходящей через две точки:
(x+1)/(-4)=(y+2)/(-1)=(z+3)/1

Проводим плоскость через точку А перпендикулярно прямой ВС

Это значит, что направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости.
vector =(-4;-1;1)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точкy
A(-4;-2;3) с нормальным вектором vector=(-4;-1;1)
-4*(х+4) -1*(y+2)+1*(z+3)=0
-4x-y+z-15=0
[b] 4x + y – z +15 =0 [/b]

Найдем точку пересечения прямой и плоскости
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

((x+4)/(-4)=(y+2)/(-1)=(z+3)/1=t
x= – 4t – 4
y= – t – 2
z= t – 3
подставляем в уравнение плоскости

4*( -4t – 4) + (- t – 2) – (t – 3 ) + 15 =0

при t=0
x= – 4
y= – 2
z= – 3
M(-4 ;-2;-3) – проекция точки A на прямую

По свойству симметричных точек,
AМ=МA_(1)

Найдите координаты проекций точек

Reshak.ru – сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте – сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Информация

© admin

xn----ctbetbqubfsc3c1hk.xn--p1ai

Проекция точки на прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M(x, y) и прямая L:

,

(1)

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M на прямую (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить прямую L₁, проходящую через точку M и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)

Уравнение прямой, проходящей через точку M(x, y) имеет следующий вид:

A(x−x)+B(y−y)=0

(2)

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L₁ была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L₁, поэтому в качестве нормального вектора прямой L₁ достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L₁, представленной уравнением (2) можно записать так:

m(x−x)+p(y−y)=0

(3)

mx+py−mx−py=0

(4)

Для нахождения точки пересечения прямых L и L₁, которая и будет проекцией точки M на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M₁(x₁, y₁).

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

(5)

Подставим значения x и y в (4):

m(mt+x’)+p(pt+y’)−mx−py=0

m 2 t+mx’+p 2 t+py’−mx−py=0

(5′)

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L₁(4). Следовательно, подставляя значение t’ в (5) получим координаты проекции точки M на прямую L:

Пример 1. Найти проекцию точки M(1, 3) на прямую

(6)

Направляющий вектор прямой (6) имеет вид:

Т.е. m=4, p=5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x’=2, y’=-3. Подставим значения m, p, x, y, x’, y’ в (5′):

Подставляя значение t в (5), получим:

,

.

Проекцией точки M(1, 3) на прямую (6) является точка:

,

(7)

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M на прямую (7)(Рис.2).

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить плоскость α, проходящую через точку M и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)

A(x−x)+B(y−y)+C(z−z)=0

(8)

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (8) можно записать так:

m(x−x)+p(y−y)+l(z−z)=0

mx+py+lz−mx−py−lz=0

(9)

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (7):

(10)

Подставим значения x и y в (9):

m(mt+x’)+p(pt+y’)+l(lt+z’)−mx−py−lz=0

m 2 t+mx’+p 2 t+py’+l 2 t+ly’−mx−py−lz=0

(10′)

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (9). Следовательно, подставляя значение t’ в (10) получим координаты проекции точки M на прямую L:

M1(x1, y1, , z1),

Пример 2. Найти проекцию точки M(3, −1, −2) на прямую

(11)

Направляющий вектор прямой (11) имеет вид:

Т.е. m=2, p=3, l=−4. Из уравнения прямой (11) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(2, 1, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (11) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=2, y’=1, z’=1. Подставим значения m, p, l x, y, zx’, y’, z’ в (10′):

Подставляя значение t=t’ в (10), получим:

.

.

.

Проекцией точки M(3, −1, −2) на прямую (11) является точка:

Проекции точки

Проецирование точки на три плоскости проекций координатного угла начинают с получения ее изображения на плоскости H – горизонтальной плоскости проекций. Для этого через точку А (рис. 4.12, а) проводят проецирующий луч перпендикулярно плоскости H.

На рисунке перпендикуляр к плоскости Н параллелен оси Oz. Точку пересечения луча с плоскостью Н (точку а) выбирают произ­вольно. Отрезок Аа определяет, на каком расстоянии находится точка А от плоскости Н, указывая тем самым однозначно положение точки А на рисунке по отношению к плоскостям проекций. Точка а является прямоугольной проекцией точки А на плоскость Н и называется горизонтальной проекцией точки А (рис. 4.12, а).

Для получения изображения точки А на плоскости V (рис. 4.12,б) через точку А проводят проецирующий луч перпендикулярно фронтальной плоскости проекций V. На рисунке перпендикуляр к плоскости V параллелен оси Оу. На плоскости Н расстояние от точки А до плоскости V изобразится отрезком аа_х, параллельным оси Оу и перпендикулярным оси Ох. Если представить себе, что проецирующий луч и его изображение проводят одновременно в направлении плоскости V, то когда изображение луча пересечет ось Ох в точке а_х, луч пересечет плоскость V в точке а’. Проведя из точки а_х в плоскости V перпендикуляр к оси Ох, который является изображением проецирующего луча Аа на плоскости V, в пересечении с проецирующим лучом получают точку а’. Точка а’ является фронтальной проекцией точки А, т. е. ее изображением на плоскости V.

Изображение точки А на профильной плоскости проекций (рис. 4.12, в) строят с помощью проецирующего луча, перпендикулярного плоскости W. На рисунке перпендикуляр к плоскости W параллелен оси Ох. Проецирующий луч от точки А до плоскости W на плоскости Н изобразится отрезком аа_у, параллельным оси Ох и перпендикулярным оси Оу. Из точки Оу параллельно оси Oz и перпендикулярно оси Оу строят изображение проецирующего луча аА и в пересечении с проецирующим лучом получают точку а”. Точка а” является профильной проекцией точки А, т. е. изображением точки А на плоскости W.

Точку а” можно построить, проведя от точки а’ отрезок а’а_z (изображение проецирующего луча Аа” на плоскости V) параллельно оси Ох, а от точки а_z — отрезок а”а_z параллельно оси Оу до пересечения с проецирующим лучом.

Получив три проекции точки А на плоскостях проекций, координатный угол развертывают в одну плоскость, как показано на рис. 4.11,б, вместе с проекциями точки А и проецирующих лучей, а точку А и проецирующие лучи Аа, Аа’ и Аа” убирают. Края совмещенных плоскостей проекций не проводят, а проводят только оси проекций Oz, Оу и Ох, Оу₁ (рис. 4.13).

Анализ ортогонального чертежа точки показывает, что три расстояния — Аа’, Аа и Аа” (рис. 4.12, в), характеризующие положение точки А в пространстве, можно определить, отбросив сам объект проецирования — точку А, на развернутом в одну плоскость координатном угле (рис. 4.13). Отрезки а’а_z, аа_y и Оа_х равны Аа” как противоположные стороны соответствующих прямоугольников (рис. 4.12,в и 4.13). Они определяют расстояние, на котором находится точка А от профильной плоскости проекций. Отрезки а’а_х, а”а_у1 и Оа_у равны отрезку Аа, определяют расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций, отрезки аа_х, а”а_z и Оа_y1 равны отрезку Аа’, определяющему расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций.

Отрезки Оа_х, Оа_у и Оа_z, расположенные на осях проекций, являются графическим выражением размеров координат X, Y и Z точки А. Координаты точки обозначают с индексом соответствующей буквы. Измерив величину этих отрезков, можно определить положение точки в пространстве, т. е. задать координаты точки.

На эпюре отрезки а’а_х и аа_х располагаются как одна линия, перпендикулярная к оси Ох а отрезки а’а_z и a”a_z — к оси Оz. Эти лини называются линиями проекционной связи. Они пересекают оси проекций в точках а_х и а_z соответственно. Линия проекционной связи, соединяющая горизонтальную проекцию точки А с профильной, оказалась «разрезанной» в точке а_у.

Две проекции одной и той же точки всегда располагаются на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

Для представления положения точки в пространстве достаточно двух ее проекций и заданного начала координат (точка О) На рис. 4.14, б две проекции точки полностью определяют ее положение в пространстве По этим двум проекциям можно построит профильную проекцию точки А. Поэтому в дальнейшем, если не будет необходимости в профильной проекции, эпюры будут построены на двух плоскостях проекций: V и Н.

Рис. 4.14. Рис. 4.15.

Рассмотрим несколько примеров построения и чтения чертежа точки.

Пример 1. Определение координат точки J заданной на эпюре двумя проекциях (рис. 4.14). Измеряются три отрезка: отрезок Ов_Х (координата X), отрезок b_Хb (координата Y) и отрезок b_Хb’ (координата Z). Координаты записывают в следующем п рядке: X, Y и Z, после буквенного обозначения точки, например, В20; 30; 15.

Пример 2. Построение точки по заданным координатам. Точка С задана координатами С30; 10; 40. На оси Ох (рис. 4.15) находят точку с_х, в которой линия проекционной связи пересекает ось проекций. Для этого по оси Ох от начала координат (точка О) откладывают координату X (размер 30) и получают точку с_х. Через эту точку перпендикулярно оси Ох проводят линию проекционной связи и от точки вниз откладывают координату У (размер 10), получают точку с — горизонтальную проекцию точки С. Вверх от точки с_х по линии проекционной связи откладывают координату Z (размер 40), получают точку с’ — фронтальную проекцию точки С.

Пример 3. Построение профильной проекции точки по заданным проекциям. Заданы проекции точки D — d и d’. Через точку О проводят оси проекций Oz, Oy и Оу₁ (рис. 4.16, а). Для построения профильной проекции точки D отточки d’ проводят линию проекционной связи, перпендикулярную оси Oz, и продолжают ее вправо за ось Oz. На этой линии будет располагаться профильная проекция точки D. Она будет находиться на таком расстоянии от оси Oz, на каком горизонтальная проекция точки d располагается: от оси Ох, т. е. на расстоянии dd_x. Отрезки d_zd” и dd_x одинаковы, так как определяют одно и то же расстояние — расстояние от точки D до фронтальной плоскости проекций. Это расстояние является координатой У точки D.

Графически отрезок d_zd” строят перенесением отрезка dd_x с горизонтальной плоскости проекций на профильную. Для этого проводят линию проекционной связи параллельно оси Ох, получают на оси Оу точку d_y (рис. 4.16,б). Затем переносят размер отрезка Od_y на ось Оу₁, проведя из точки О дугу радиусом, равным отрезку Od_y, до пересечения с осью Оу₁ (рис. 4.16,б), получают точку dy₁. Эту точку можно построить и как показано на рис. 4.16, в, проведя прямую под углом 45° к оси Оу из точки d_y. Из точки d_y1 проводят линию проекционной связи параллельно оси Oz и на ней откладывают отрезок, равный отрезку d’d_x, получают точку d”.

Перенос величины отрезка d_xd на профильную плоскость проекций можно осуществить с помощью постоянной прямой чертежа (рис. 4.16, г). В этом случае линию проекционной связи dd_y проводят через горизонтальную проекцию точки параллельно оси Оу₁ до пересечения с постоянной прямой, а затем параллельно оси Оу до пересечения с продолжением линии проекционной связи d’d_z.

Частные случаи расположения точек относительно плоскостей проекций

Положение точки относительно плоскости проекций определяется соответствующей координатой, т. е. величиной отрезка линии проекционной связи от оси Ох до соответствующей проекции. На рис. 4.17 координата У точки А определяется отрезком аа_х — расстояние от точки А до плоскости V. Координата Z точки А определяется отрезком а’а_х — расстояние от точки А до плоскости Н. Если одна из координат равна нулю, то точка расположена на плоскости проекций. На рис. 4.17 приведены примеры различного расположения точек относительно плоскостей проекций. Координата Z точки В равна нулю, точка находится в плоскости Н. Ее фронтальная проекция находится на оси Ох и совпадает с точкой b_х. Координата У точки С равна нулю, точка располагается на плоскости V, ее горизонтальная проекция с находится на оси Ох и совпадает с точкой с_х.

Следовательно, если точка находится на плоскости проекций, то одна из проекций этой точки лежит на оси проекций.

На рис. 4.17 координаты Z и Y точки D равны нулю, следовательно, точка D находится на оси проекций Ох и две ее проекции совпадают.

Упражнение 401 из ГДЗ по геометрии Атанасян за 10-11 класс.

Другие решения на тему § 1. Координаты точки и координаты вектора

Другие решебники за 11 класс

Ответы на вопросы к учебнику по алгебре и началам анализа за 11 класс Мордковича

Ответы на вопросы к учебнику по геометрии за 11 класс Погорелов

Английский язык

ГДЗ Английский язык Биболетова М.З. Enjoy English 11 класс

Английский язык

ГДЗ Рабочая тетрадь Spotlight 11 Английский в фокусе Ваулина Ю.Е. 11 класс

Английский язык

ГДЗ Test Booklet Английский в фокусе Spotlight 11 Афанасьева О.В. 11 класс

Английский язык

ГДЗ Spotlight 11 Английский в фокусе Афанасьева О.В. 11 класс

Ответы на вопросы к учебнику по алгебре и началам анализа 11 класс С.А. Шестакова

Ответы на вопросы к учебнику по химии за 11 класс Габриеляна

Построение ортогональных проекций точек

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

Определение координат точек по их проекциям

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A’, имеющая координаты x, y. Проведем из т. A’ перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A_х, A_у. Координата х для т. A равна длине отрезка A_хO со знаком плюс, так как A_х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A_уO со знаком минус, так как т. A_у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A” имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A” на ось z и найдем A_z. Координата z точки A равна длине отрезка A_zO со знаком минус, так как A_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В’. Так как она лежит на оси х, то B_x = B’ и координата B_у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B_хO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B” к оси z, таким образом найдем B_z. Аппликата z точки B равна длине отрезка B_zO со знаком минус, так как B_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П₃ имеют следующие координаты: A”’ (y, z); B”’ (y, z). При этом A” и A”’ лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B” и B”’. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A_уO. После этого проведем перпендикуляр из A_у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A” к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A”’.

Точка B”’ лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B” к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B”’.

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П₂.

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Октанты	Знаки координат
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П₂. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П₁, П₂, П₃

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П₁, П₂, П₃, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A_х и A_у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A_х и A_у соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П₂ по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B_х и B_z, определит положение точки B.